Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
г, 0
= 2 Йк-*(г-г„)Н^ =
k=0 1 O’
п
zn+1 *"+'
(46)
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
105
нутым кругом |? — z|sge, лежащим в D+, и учитывая
аналитичность по ? функции в оставшейся части De
области D+ и непрерывность ее вплоть до границы, в силу (39) и (35) получаем (рис. 10)
2л i
_ Г f®€ __
1 ) 1~2 -i. S \
*1
+ 2ЙГ^г) S
/(?)<%
1C — г | = е
1 \ /(?)-/(») 2то J ? —г
i С — * I = е
4-
С-
Рис. 10.
?—z|=e
откуда на основании (41) и очевидного равенства
lim ?
8—>0 , „ J.
№=о
1C—*|=е
в пределе при е-»-0 следует, что
шУ-^§-=Пг), ш»*.
S
(47)
Очевидно, что формула (47) остается в сим и тогда, когда D+ представляет собой (т +1 )-связную ограниченную область, контур S которой состоит из замкнутых попарно непересекающихся кусочно-гладких кривых S0, Slt... ..., Sm. В частности, когда конечная область D0 с границей S0 содержит внутри себя Sb ..., Sm, то в силу (35) можем написать
* = ! S
т-
(48)
Если f(г) — аналитическая в односвязной области D функция, то, как уже было показано выше, интеграл (40)
106
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ —РИМАНА
зависит исключительно от точек г0, геО, и, следовательно, функция комплексного переменного г:
F(z)={fa)d?
при фиксированном г0 однозначна в области D. Более bF
того, для отношения имеем
/г + Дг г\ z+Дг
AF 1 • '
Дг Дг
+ Дг г\ г+аг
Za z« / г
где при достаточно малом ! Дг | можно считать, что интеграл берется вдоль прямолинеййого отрезка б, соединяющего точки г и г + Дг.
Так как в силу формулы (45) имеем
z + Дг
$ <%, — Дг,
то
г + Дг
т?-к*>
max |f (С)-/(г) |.
Отсюда ввиду того, что max | / (С) — f (г) \ -у 0 при | ? — z | -> —у 0, получаем
lim ~ = F' (г) = f (г).
Дг—0 аг
Совокупность Ф(г) аналитических в области D функций, производные которых Ф' (г) равны f (г), называется неопределенным интегралом от f(z).
Таким образом, для разности Ф (г) — F (г) = ^ (г) = =и (х, у) + iv (х, у) имеем я|з' (г) = Ф‘ (z)-F' (г) = / (г) —
— / (г) = 0 всюду в области D. То есть Щ = ди
= =0, а это означает, что и (х, у) = const, v(x, у) =
= const и, стало быть. Ф (г) = F(z) + C. Так как Ф(?п) = *= F (г0) + С = С, то для вычисления интеграла (40)
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
107
получаем формулу
$Ш<? = Ф(г)-Ф(го),
*0
носящую название формулы Лейбница.
4°. Интеграл типа Коши. Пусть 5 —замкнутая или разомкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, а /(?) — заданная на 5 непрерывная функция.
При фиксированном значении г, не лежащем на S,
выражение ф(г, = как функция ? непрерывна и,
следовательно, интеграл
s
существует и является однозначной функцией г. Выражение (49) носит название интеграла типа Коши.
Если 5 — замкнутый контур, ограничивающий конечную область D, и функция f (z) аналитична в D и непрерывна в D U 5, то правая часть (49) в каждой точке геО совпадает с f (г) и в этом случае (49) есть не что иное, как интегральная формула Коши (47).
Так как <p(z, ?) при ? е 5 как функция г аналитична
в каждой точке, не лежащей на 5, т. е. ^ф(2, С) = 0 и д
операцию ^ можно внести под знак интеграла в правой
части (49), заключаем, что = 0. Следовательно, функция F (г) аналитична на комплексной плоскости г всюду вне кривой S. Далее, ввиду того, что <p(z, С) при как функция г в каждой точке, не лежащей на S, имеет производные любого порядка
?ф(г. 0 =
dn
и операцию можно внести под знак интеграла в правой части (49), заключаем, что представленная интегралом типа Коши (49) функция F (г) в точках г, не лежащих на S, имеет производные всех порядков, причем
= (fSpr- «=1,2,... (50)
108
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
Из только что установленного свойства интеграла типа Коши вытекает, что аналитическая в области D функция f (г) имеет в этой области производные всех порядков. Действительно, пусть г0 — произвольная точка области D, а круг 12 — 201 < е достаточно малого радиуса е лежит в D. В силу интегральной формулы Коши (46) имеем
1г-г°1<8- (51)
IS— г0[ = е
Правая часть (51) является частным случаем интеграла типа Коши. Поэтому функция /(г) в круге \г — г01 <Г в имеет производные всех порядков, и в силу произвольности точки г0 справедливость сформулированного утверждения доказана.
5°. Сопряженные гармонические функции. Теорема
Морера. Так как функция
и / \ ди • ди , „ ди ди
сама аналитична в области D, то и -щ имеют част-
д2и д2и д2и
ные производные первого порядка причем в силу условия (CR)
д2и д2и d2v д2и
"дх* дх ду ~ дуд х ду2 '
д2и д2и д2и д2и
дх ду дудх ду2 дх2'
Тем самым доказаны существование производных второго порядка у функций и(х, у) и v (х, у) и гармоничность
этих функций в области D. Повторением этого рассуждения убеждаемся в том, что функции и (х, у) и v (х, у) имеют производные всех порядков в области D аналитичности функции f(z).
Действительная и мнимая части аналитической в области D функции / (г) называются сопряженными гармони* ческими функциями.
Теперь легко восстановить аналитическую в односвязной области D функцию f(z) = u(x, у) + iv (х, у), когда известна ее действительная часть и (х, у). В самом деле,
§ 2. КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИИ
