Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
79
Когда в краевом условии (86) всюду на S
Pi (х) = cos Nx{, i = 1, ..., я,
задача с наклонной производной называется второй краевой задачей или задачей Неймана.
4°. Принцип экстремума Единственность решения задачи Дирихле. В теории эллиптического уравнения (81) важную роль играет следующий принцип экстремума: если в области D всюду
С{х)< 0, (87)
то регулярное в этой области решение и (х) однородного уравнения
Lu = 0 (88)
ни в одной точке ней не может достигать ни отрицательного относительного минимума, ни положительного относительного максимума.
Допуская, что функция и(*) в точке л:еО достигает отрицательного относительного минимума, мы можем написать
|- = 0, 1=1, ..., п, (89)
2 w
»./=i
*
где hlt ..., %п — произвольные действительные параметры. Так как положительно определенную форму
П
2 Aij'ki'Kj в точке xeD всегда можно представить i./ = 1 в виде
/. /=1 * = 1 \г=i /
то для коэффициентов Ац справедливо представление
П
Ai;X ssigsj> ;./ = 1...........п. (91)
9 = \
80
ГЛ I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
На основании (90) и (91) имеем
2 Ац дх, дх, = 2 Ыс[д^~Ssi8si ^ °-
I, /=i ;./.«= 1
Учитывая то обстоятельство, что и($<. 0, в силу (87), (89), (90) и (92) получаем /,ы> 0, а это противоречит равенству (88). Полученное противоречие опровергает наше допущение.
Аналогично доказывается, что в точке ней решение ы(х) уравнения (88) не может достигать положительного относительного максимума.
Из принципа экстремума следует, что задача Дирихле (81), (85) при соблюдении условия (87) не может иметь более одного решения.
Действительно, разность иг (х) — и2 (х) = и (х) любых двух решений иг (х) и и2(х) задачи (81), (85) удовлетворяет условиям
Lu = 0, неО, и (у) = 0, t/eS.
Так как тах|ы(г/)| = 0 на S, то в силу принципа экстремума заключаем, что ы(х) = 0, т. е. иг (х) = и2 (х) всюду в D.
Также нетрудно доказать, что задача Дирихле (81), (85) при соблюдении условия
ife-2cs»° <*»> 1
всюду в D не может иметь более одного решения.
В самом деле, для разности иг (х) — и2 (х) = и (х) любых решений «i(x) и ы2(х) уравнения (81) имеет место равенство
t. /=i w1 /
“ 2 а|(л^1;) + 12а|(егы2)-(./=1 i=i
Интегрируя это равенство по области D и применяя фор-
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
81
мулу (GO), в силу равенства и (х) = 0, xeS, получаем
If 1 Л‘'!^+2-(2а^-2СИ*« = 0.
D U. / = 1 \/ = 1 /
откуда на основании положительной определенности фор-
Л
мы и условия (93) заключаем, что и (х) = О
{. /=1
всюду в DUS, т. е. и1(х) = и2(х).
5°. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя.
В пункте 2° настоящего параграфа было доказано существование элементарного решения уравнения (81) в области достаточно малого диаметра.
Если коэффициенты уравнения (88) являются заданными во всем пространстве Еп достаточно гладкими функциями, то при соблюдении условий: a) C(x)sgO в области D, в которой ищется решение этого уравнения, и б) С (х) — k2 вне некоторой ограниченной области, со-
держащей область D, при отличном от нуля постоянном k, доказывается, что уравнение (88) имеет главное элементарное решение Е* (х, ?), определенное для всех точек х, 5 пространства Еп. В отличие от рассмотренного в пункте 2° элементарного решения, главное элементарное решение Е* (х, ?) обладает еще двумя свойствами: а) Е* (я, S) относительно ? при ? Ф х является решением сопряженного уравнения L*E* (х, I) = 0 и Р) при ] х — ? | оо функ-
дЕ*
ция Е* (х, §) и ее частные производные-^, i=l,...,n,
ведут себя как е-Л|* —S , где R — положительное число.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что главным элементарным решением уравнения Гельмгольца А и — №и = 0 к — const Ф 0,
является функция Е* (х, ?) = Ая-2фл (Хг), где г = |? — х\, а Фп (г) — решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения
Г(р’п + (п — 1)ф;-гф„ = 0.
В частности, при я = 2 и п = 3 получаем
—I
, > 1 (• ertdt . . 1 е-г
^<Г) = 2я 3 y^Tj’ ^(0 = ^ —
— СО
соответственно.
82
ГЛ. !. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Если «х (х) — регулярное в области D решение неоднородного уравнения (81) с достаточно гладкой ограниченной правой частью f (х) и ы2 (х) — обобщенный потенциал объемных масс с плотностью / (Е):
ыа (х) = J Е (х, I) f (|) dx%,
D
то в силу (80) для суммы иг (х) ы2 (х) = и (х) будем иметь
Lu = Lui + Lu2 = f(x) — f (x) = 0.
Следовательно, в теории уравнения (81) без ограничения общности можно полагать, что f (х) = 0 всюду в области задания этого уравнения.
Когда коэффициенты уравнения (88) являются достаточно гладкими функциями в области D, причем С(х)^0 всюду в D, то всегда можно доопределить эти коэффициенты вне D с сохранением гладкости так, что вне некоторой области, содержащей D, будет соблюдено условие С (х)<, — k2. Следовательно, в этом случае мы можем считать, что главное элементарное решение уравнения (88) существует.
Функции
и (х) = \ Е* (х, |) {х (|) ds% (94)
S
и
v(x)=\QiE*(x, |)Ц|)<% (95)
s
где S — достаточно гладкая поверхность, являющаяся границей области D+, оператор имеет вид (75), а ц и % — заданные на S достаточно гладкие действительные функции, называются обобщенными потенциалами простого и двойного слоя. Эти потенциалы оба в любой точке х пространства Еп, не лежащей на S, являются регулярными решениями уравнения (88), причем при переходе точки х из области D+ в область D~ = C (D* Q S) через границу S
