Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь вместо однородного краевого условия (38) задано неоднородное краевое условие
lim ы(х) = <р(jefl), леО, ijeS. (39)
* —*о
Если v (х) — гармоническая в области D функция, удовлетворяющая краевому условию (39), т. е.
lim w (х) = ф (х0), xeD, xfleS,
Х-*Х0
а и(х) — искомое решение неоднородной задачи Дирихле
(39) для уравнения (37), то разность и (х) — v (х) = w (х) будет регулярным решением уравнения
Ддо = / (х), леО,
удовлетворяющим однородному краевому условию
lim ш (л:) = 0, x&D, J(40)
i 3. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС
вз
Тем самым задача отыскания решения и (х) неоднородной задачи Дирихле (39) для уравнения (37) приведена (рес щирована) к отысканию решения w (х) этого же уравнения, удовлетворяющего однородному краевому условию (40).
4°. Формула Гаусса. Ниже придется пользоваться формулой
где d — произвольная конечная область с достаточно гладкой границей а, а С (d |J о) — дополнение d{Jo до полного пространства Еп (рис. 5).
Третье из равенств (41)
сферы, лежащей в d при
5 е а. Опять в силу гармоничности Е (х, ?) при х Ф g на основании (4) имеем
Последнее равенство написано с учетом того, что формула (4) остается в силе и в том случае, когда граница
следует из формулы (4) в силу гармоничности Е(х, 5) по х при х Ф Когда же 5 е d |J о, •часть области d вне пересечения dg замкнутого шара \х —
— 5|<в с d|Ja обозначим через de. При достаточно ма-
лис! сииии ииласю, граница
которой состоит: 1) из а при led или из ее части аг вне шара \х — 6|<е при ^ео; 2) из сферы | х — 51 = е при led или из части аа этой
Рис. 5.
*х —
6 е d, (42)
a
И
(43)
64
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
области является кусочно-гладкой поверхностью. Равенство (42) представляет собой первое из равенств (41), а равенство (43) в пределе при e-vO переходит во второе из равенств (41).
Для потенциала и(х) объемных масс, распределенных по области D с плотностью ц, на основании (41) непосредственно получается формула Гаусса
= j i(l)dxlt (44)
a D П й
где d —любая область пространства Еп с достаточно гладкой границей а.
Действительно, так как
то
S j 0(1)^^*,=
_ J ц(|)А, (45)
D[\d a dt о
где d1 — часть D, лежащая вне d U
В силу (41) второе слагаемое в правой части (45) равно нулю, а первое слагаемое совпадает с- правой частью формулы (44).
| 4. Потенциалы двойного н простого слоя
1°. Определение потенциала двойного слоя. Пусть D— ограниченная область пространства Еп с достаточно гладкой границей S, а ц — заданная на S действительная
непрерывная функция.
Потенциалом двойного слоя масс, распределенных по поверхности S с плотностью и, называется функция
(46>
« 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ
65
Так как |eS, Е(х, §) при хФ\ является гармонической функцией и дЕ стремится к нулю при |х|-»-оо,
то потенциал двойного слоя (46) во всем пространстве Е„, за исключением поверхности S, является гармонической функцией, исчезающей при \х\-*~со.
Для области D и для дополнения D U S до всего пространства Еп примем обозначения D+ и D~ соответственно.
Подынтегральное выражение в правой части формулы (46) при п = 3 имеет простой физический смысл.
Действительно, пусть и — точки на нормали v5 к поверхности S в точке |, расположенные симметрично относительно |, причем ?' е D+, t" е D~. Предположим, что в точках ?' и сосредоточены соответственно электрические заряды — fi0 и Цо такие, что при ||" —все время
ц016'-Е'1 = и(&).
Потенциал поля, созданного этими зарядами в точке хф\, имеет вид
Но_______Но
!?»_*!
Предельное расположение зарядов при Ц* — носит название диполя, а величины ц и — его момента и оси соответственно.
По определению производной в данном направлении очевидно, что
=fi 1Г1‘?!^о|r-i'i ~щЕ(*’ &)•
Выясним характер поведения функции и(х) при переходе точки х из в D-. Ограничимся рассмотрением случая двух независимых переменных, т. е. когда
"W = -j ^(i)a^logli-^|ds6, (47)
причем будем предполагать, что S является простой замкнутой кривой Жордана с непрерывной кривизной, а ц — дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
3 А. В. Бицадзе
66
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Дуговые абсциссы точек л:0 и | на S (т. е. длины дуг на S, отсчитываемые от фиксированной точки против часовой стрелки до точек х° и |) обозначим через s и ( соответственно.
Покажем, что потенциал двойного слоя (47) имеет смысл и при х = х?. В самом деле, для функции
nK(s’ 0 = ^logl5-*°l
имеем
^=1^07 2%-tS-=^(s* *>• <48>
i~ I Ъ
где
cosф = ’ О (s. 0 = arctg|=|. -
Легко видеть, что функция К (s, () непрерывна по совокупности переменных s, t на S.
Действительно, примем обозначения
a (S, 0=, P(S, 0 = ?l-^~ys-. Очевидно, что
I
Si (0 — A (S) = (* — S) 5 г/i [f +т (S — 0] dx,
li(t)-xUs)^(t-'>)\y'i[t + x(s-i))dx,
о
где
*/i = «/i(z), Уъ= Уг (2), 0^г</,
— параметрическая запись уравнений кривой S, а I — длина ее дуги.
В силу (48) имеем
Ки А_ 1
^ 0— д «2+ра *
откуда следует, что
lim К (ч П — 1 (S) *Д* (s) (s) ^ К &
IimA(s, г) 2л x.'*+xJ'* ~ ая ’
где /((s) — кривизна кривой S.
$ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ
