Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
ил -f UyVy = (uxv)x + (UyV)y — v Лы
и в силу формулы (GO) и условия (56) имеют место равенства
j [(uxv)x + (uyv)y]dxdy=*^v^ds = 0, из (57) получаем
Audxdy — 0. (58)
Так как v произвольна в G, из равенства (58) заключаем, что Ды = 0.
Следовательно, в положении равновесия мембраны ее прогиб и(х, у) является решением задачи Дирихле (55) для уравнения Лапласа.
3°. Распространение тепла. Процесс распространения тепла в среде, заполненной массой с плотностью р при удельной теплоемкости с и коэффициенте теплопроводности k, математически описывается следующим образом. Пусть и(х, t) — температура среды в точке х в момент
времени / и D - произвольная область среды, содержащая
точку х Обозначим через S границу D. Если ds и v — элемент площади S и внешняя нормаль к S, то при требовании достаточной гладкости функции и(х, t) количество тепла Q, поступающее в D через $ за промежуток
38
ВВЕДЕНИЕ
времени (/ь t2) в силу закона Фурье, дается формулой
I
Q=\dt\k?ds.
I, s
Так как в результате поступления тепла Q приращение температуры равно и(х, t + dt) — u(x, t)mu,dt, то
Q = jj Л jj сриt dx, t, D
где dx — элемент объема.
Следовательно,
tt tz
^ dt ^ k dL = ^ dt ^ сри, dx.
(, S I, D
Ограничимся рассмотрением случая, когда k, с, р постоянны, т. е.
k ^ dt ^ ^ ds = ср ^ dt ^ и, dx. (59)
В силу формулы (GO) имеем
S D
Ди dx.
Поэтому равенство (59) можно записать в виде
1г
\dt\j (cput — kAu)dx = 0,
t, D
откуда ввиду того, что промежуток времени (/,, tt) и
объем области D произвольны, заключаем, что
сри, — k Ды = О
или
-* щ — Ды » О,
где а = Без ограничения общности, очевидно, и на
этот раз можно считать, что а = 1.
§ 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИИ 89
Задание значений функции и (х, t) в каждой точке х среды в начальный момент / = /0 (начальное условие) и в каждой точке границы среды для всех значений t из промежутка t0<Ci<iT при постоянном Т (краевое условие) соответствует краевой задаче (44).
4°. Движение материальной точки под действием силы тяжести. Пусть в вертикальной плоскости с декартовыми ортогональными координатами х, у под действием силы тяжести движется материальная точка М (х, у) из положения (I, г]), т] >0, к положению (?0, 0), 10>1, так, что время t в пути является заданной функцией t = t(r\) координаты т), измеряющей высоту. Требуется определить траекторию движения точки М (х, у) (задача о таутохроне).
Как известно, для квадрата модуля v вектора скорости
Т7-) точки М (х, у) имеет место равенство
di'dt
v2 = 2g(r\-y), О^у^х], (60)
где g —ускорение силы тяжести. Если а(х, у) — угол между вектором скорости и положительным направлением оси х, отсчитываемый против движения часовой стрелки,
то для в силу (60) будем иметь
-^ = u sin а = ]/ 2g (т) — у) sin а. (61)
Поскольку траектория х — х(у) неизвестна, неизвестной является и величина
ф ^ = sin а [х (у), у] ' (62)
На основании (61) и (62) получаем
= _ { У(у)ау
Ф (У) dy
или
где
f(4), (63)
40
ВВЕДЕНИИ
Следовательно, функция <р (у) должна быть решением интегрального уравнения (63), известного под названием интегрального уравнения Абеля.
В силу (62) лишь такие решения ф (у) уравнения (63) имеют физический смысл, которые удовлетворяют условию | ф (у) | > 1. Если нам удастся определить решение ф (у) уравнения (63) с указанным свойством, то из геометрического равенства
tg а = У csc* а — 1 = ]/ ф* («/) — 1
сразу находим уравнение искомой траектории в квадратурах:
х = jj V ф2 (z) — 1 dz.
о
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Основные свойства гармонических функций
1°. Определение гармонической функции и некоторые ее элементарные свойства. По определению, приведенному в пункте Г § 3 введения, функция и(х) называется гармонической в области D, если она в D обладает непрерывными частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Наряду с гармонической в области D функцией и (х) гармонической является и функция u(kCx + h), где X — скалярная постоянная, С — постоянная действительная ортогональная матрица порядка п, a h = (hlt ..., hn) — постоянный действительный вектор, причем предполагается, что точки х и XCx-j-h все принадлежат области D.
Справедливость этого утверждения следует из очевидного равенства
П П
2 ши {ХСх+=хш 2 wв
где y = XCx + h.
Поскольку при постоянных ck, k=\, ..., т, имеет место равенство
т т
А 2 ски„(х) = 2 ск Аик (х),
к=: fe =1
вместе с ик{х), k=l, ..., т, гармонична и конечная сумма
m
«(*) = 21 С„ик(х). k = 1
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что если функция и (х) гармонична в области D, то и функция
V(X) — \X ?~п U
гармонична всюду, где она определена.
42
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Когда область D содержит бесконечно удаленную точку, приведенное выше определение гармонической функции нуждается в уточнении, ибо понятие производной в бесконечно удаленной точке, не имеет смысла.
Мы скажем, что функция и(х) гармонична в окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. вне замкнутого шара |дс|а^7? достаточно большого радиуса), если функция
