Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 17

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 88 >> Следующая

| и, (х) - и {х) | <
8
<co„iW J [?e(x, ?) + ?(*, ?)] Р"'1 Ф =» ®пМ е2,
о
где М — sup | ц(?) |, при е->0 функция ие (х) стремится
I ео
к и(х) равномерно относительно х. Отсюда следует, что ' и (х) непрерывна в Е„.
Далее, так как
ди* (х) f дЕг (х, |).. ,еч . ,
-ЪГ~ ) дх, М-(Е)Лг*. ‘=1........п,
D
и несобственный интеграл
Щ (х) = J э ц (?) dx%, i = 1, ..., п,
D
равномерно сходится, то для разности диг (х)
\*) —
о
получаем оценку
I див (х)
----------«as
б
дх.
; J (?.+^ p- Ф- e,
равномерную относительно x. Отсюда, как и выше, учитывая непрерывность функции ^. заключаем, что
функция и (х) для всех хе?, имеет непрерывные частные производные первого порядка, которые могут быть вычислены по формуле (29).
2°. Существование производных второго порядка потенциала объемных масс. Теперь нетрудно показать, что если плотность ц имеет непрерывные частные производные первого порядка, ограниченные в D, то потенциал объемных масс (28) имеет частные производные второго порядка в D.
$ 3. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС 59
Действительно, формулу (29) в силу равенства
дЕ (х, Е) дЕ (х, I)
—^ ы =-----------g|’ - перепишем в виде
ё-" Э*.
D
или, после интегрирования по частям,
g- = - j?(x, 5) Ц«)С08^, ^+ j ||?(х, ?)dx6, (32)
где V| — внешняя нормаль к S в точке ?.
При xeD первое слагаемое в правой части (32) имеет непрерывные производные по х,-, которые могут быть получены внесением операции дифференцирования под знак интеграла. Ввиду непрерывности и ограниченности ~ в области D и второе слагаемое в правой части
этой формулы имеет непрерывные производные первого порядка
д С дц. р / ?ч j ( дц дЕ (х, |) .
дх, J % Е(Х' ^ 1 ~ ) дЪ dXi dXb
D D
i= 1.....n.
Тем самым доказано существование непрерывных производных второго порядка у функции и(х) при хеД причем
+ j
" | Щг*ц (Е) cos ^ - J t ТГ® *s
Следовательно, при х е D имеем
S 1 = 1 D <= I
- j ^ИвХЦ-ит J 2 (33)
о8 t = i
во
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
где De — часть области D вне замкнутого шара 11 — х | ^ е.
Так как ^ ~~^’"~ = 0 и, стало быть,
i=i 1
2д^дЕ _ у д_( дЕ\
дЬ дь - L аьгЭь;
1=1 1=1
при \Фх, в результате интегрирования по частям и применяя формулы (GO) можем написать
J h(!)2S&J)*s. (34)
II—*l=e
На основании (33) и (34) при isD имеем
4“-!“ I — Jim f
IS—*sr=8 l|—*J—e
- — lim f -n(x)\im f -
e-*0|, J. B e-»0,. J. B
18—*|—e |8—*l=e
— — ю„ц (x). (35)
Здесь мы пользовались тем, что граница 5 области
D является гладкой поверхностью. Это требование станет излишним, если функцию и (х) представить в виде
“(*)=¦ $ Е (х, g) (х (|) dr6 + J Е (х, I) ц (?) dxlt
Dr II—*КЯ
х бД
где шар || —лежит в области D, a DR — часть D вне шара |? — В правой части этого представле-
ния первое слагаемое гармонично внутри шара — а для второго слагаемого, очевидно, годится приведенное выше рассуждение.
Аналогично выводится формула Ди =—2лц (х), если предположить, что п=2.
8°. Уравнение Пуассона. На основании формулы (35) заключаем, что функция и(х), определенная формулой
= (36)
$ S. ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС
61
где G(х, ?) — функция Грина задачи Дирихле для гармонических функций в области D, а функция f(x) ограничена и имеет непрерывные первые производные, ограниченные в D, является регулярным решением уравнения Пуассона
Au = f (л:), х е D.
Покажем, что функция и (х) удовлетворяет условию
lim u(x)—0, x<=D, XoeS. (38)
Мы не вправе переходить к пределу под знаком интеграла в правой части формулы (36), ибо стремление к нулю функции Грина G(x, ?) при x-»-x:esS не является равномерным относительно JeD. Поэтому поступим следующим образом.
Представим функцию и (х) в виде
и м=—4 $0 ^ ^dx%=
П °е
(37)
краевому
где cfe = Z?n{|* — х0 <е}, a De — часть D вне шара I? — Xol^e (рис. 4).
Очевидно, что
lim \ G(x, l)f(?)dxl = \ lim G(x, l)f(l)dxi = 0.
DeX‘
Если мы покажем, что для всех х < оценка
J G(x, |)dT| < N (е),
: de имеет место
где lim N (е) ==0, то в силу ограниченности функции f(x) 8 -*0
равенство (38) будет доказано.
Обозначим через SR сферу | у — l=R с центром в точке | ^ D настолько большого радиуса, что при любом
62
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
эта сфера содержит внутри себя область D. Пусть Q(x, i) = E(x, Q — E(y, g), \y-l\ = R.. Очевидно, что в шаре || — функция Q(x, |)3г0, а на границе S
области D
G(x, l)-Q(x, 5)^0.
Отсюда, учитывая гармоничность G (х, ?) — Й (х, |) в области D, в силу принципа экстремума заключаем, что
Q.(x, ?)=sG(х, 1)^0
всюду в области D. Из полученного неравенства непосредственно следует интересующая нас оценка
$ G (х, |) Й (х, 5) dx5N (в), л; е de,
de de
ибо интеграл от Й(*, 5) по области de равномерно сходится.
Таким образом, при наличии функции Грина G(x, 6) потенциал и (х) объемных масс, определенный по формуле
(36) в области D, дает решение однородной задачи Дирихле
(38) для уравнения Пуассона {37\
Подставляя выражение (14) функции Грина G(x, 5) в правую часть формулы (36), получаем в квадратурах решение однородной задачи Дирихле (38) для уравнения
(37) в случае единичного шара.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed