Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
доопределенная в точке г/ = 0 как lim v (у), гармонична
и-> о
в окрестности точки у = 0.
В результате замены у = т^2 имеем
и(х) = 1*Гли(т^),
В соответствии с этим под регулярным в окрестности бесконечно удаленной точки решением уравнения Лапласа понимается гармоническая в этой окрестности всюду,
кроме бесконечно удаленной точки, функция и (х), которая при |х[—>-со остается ограниченной в случае п = 2 и стремится к нулю не медленнее, чем | х I®-л при п> 2.
Пусть D — область пространства Еп с достаточно гладкой границей S, а и (х) и v (х) — заданные в ней действительные гармонические функции, непрерывные вместе со своими производными первого порядка в D |J S. Интегрируя по области D тождества
п п
2д I ди\ _ VI dv ди
dXi \ dxi) ~ Zl dxi dxi ’
1=1 i= l
VI д { ди dv\ „ i — 1
и пользуясь формулой (GO) из введения, получаем
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 43
соответственно. В формулах (1) и (2) и всюду ниже под v подразумевается внешняя нормаль к S.
Когда область D содержит бесконечно удаленную точку пространства Еп, для того чтобы формулы (1), (2) оставались в силе, от подынтегральных выражений естественно потребовать абсолютной интегрируемости (или суммируемости, если интегралы понимаются в смысле Лебега).
Формулы (1), (2) позволяют легко установить ряд элементарных свойств гармонических функций.
1) Если гармоническая в области D функция и (х) непрерывна в D U S вместе со своими производными первого порядка и равна нулю на границе S области D, то и (х) = О для всех xeD|JS (свойство единственности гармонической функции).
Это свойство следует из равенства (1), если в нем примем u(x) = v(х). Действительно, ввиду того, что и(у) = О при yeS, из (1) имеем
2 Ш)^т*=(3)
l = \ D S
2 №**=*¦ i = \ D
Следовательно, = i=l, ..., п, reD, т. е. u(i) =
= const для всех xeD Отсюда, так как и (у) = 0, г/eS, в силу непрерывности и(х) в замкнутой области D [J S заключаем, что и (х) — 0 для всех х е D U S.
2) Если нормальная производная гармонической
в области D функции и (х), непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D U S, равна нулю на границе S области D, то и(х) — const для всех xeD.
Это свойство гармонических функций обнаруживается точно так же, как и предыдущее, если в равенстве (3)
ди (у) п с
учесть, что dv ~" Для всех у е S.
3) Интеграл, взятый по границе S от нормальной производной д1^У~ гармонической в области D функции ы(х),
44
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка a D U 5, равен нулю.
В самом деле, положив в (1) и(х) = 1, д:eD, получаем
(4)
2°. Интегральное представление гармонических функций. Для гармонической в области D функции и (х), непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D US, имеет место интегральное представление
где Е (х, у) — рассмотренное в пункте 1° § 3 введения элементарное решение уравнения Лапласа, о„ = -г^2) 2ял/2 —
площадь единичной сферы в Еп, а Г — гамма-функция Эйлера.
Для вывода формулы (5) выделим точку х из области D вместе с замкнутым шаром \ у — радиуса е, лежа-
щим в D, и для оставшейся части De области D, ограниченной поверхностью S и сферой \у — д:|==е, применим формулу (2), в которой v(y) — E{х, у):
f 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 48
Учитывая то обстоятельство, что на сфере \у—х\ = •
I
Е(х, у) = J (п-2)е»->’
I — log е, п = 2,
дЕ (х, у) 1
dv„ ~
п> 2, п —
2,
Игл ? | ц (г/) - и (х)1 у) ds,, = О,
6—*0 j avi/
g/i-i
==0)я
в силу (4) из формулы (6) в пределе при е-»-0 получаем интегральное представление (5) (рис. 2).
3°. Формулы о среднем арифметическом. Если шар | у — х | ^ R лежит, целиком в области D гармоничности функции и (я), то значение этой функции в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере \у — x\ = R.
Действительно, так как на сфере \y — x\ = R имеют место равенства
1
Е (х, у) -¦
(п-2)Я»-а’
-log/?,
п> 2, п — 2,
то в силу (4) из формулы (5), написанной для шара | y — x \<.R, получаем
uW = ^=i J u(y)dsy. (7)
" \y — x\=R
Записывая формулу (7) для сферы \ у — x\ = p^R в виде
Р"1" W = i J u[y)dse
Hj ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
и интегрируя по р в промежутке 0=^р «?/?, получаем
“ = Ц u(y)drU’ (8)
* \у — *|<Д
где dxy — элемент объема по переменному у, а —
объем шара \y — x\<.R.
Формулы (7) и (8) известны под названием формул
о среднем арифметическом для гармонических функций по сфере и по шару соответственно.
При п = 2 и п = 3, пользуясь полярными координатами, формулу (7) можно записать еще в виде
2я
и (xlt х2) = ^ ^ и(хг + R cos 6, хг + R sin 0) d0 (9) о
и
п 2л
и (хи х2, ха) = ^ ^ d0 J и (*! 4- У1, Х2 + у2, х3 + Уз) sin 0 dip,
о о
где
= sin 0 cos y2 = R sin 0 sin -ф, ys = R cos 0.
4°. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле. Обозначим соответственно через М и т верхнюю и нижнюю грани значений в области D гармонической функции и(х).
На основании формулы (8) легко, установить следующее свойство гармонических функций, известное под названием принципа экстремума для гармонических функций: отличная от постоянной гармоническая в области D функция и (х) ни в одной точке xeD не может принимать ни значения М, ни значения т.
