Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 23

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

они ведут себя точно так же, как гармонические потен-
циалы простого и двойного слоя.
Обобщенные потенциалы двойного и простого слоя позволяют редуцировать задачи Дирихле и Неймана для уравнения (88) к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
ГЛАВА II
СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Понятие аналитической функции комплексного переменного
1°. Система Коши — Римана. Система линейных уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными
| + ?=°- <с*>
как уже было отмечено в пункте 1° § 5 введения, называется системой Коши — Римана.
По данной в пункте 4° § 1 введения классификации система
Ади вд“=0 дх ' ду
где
Ли ^ 12 А21 Л22
А =
? =
Вп В12 I ВгJ Вг2 I
и = (иь и2),
называется эллиптической, если квадратичная форма Q (Яц, = det
¦^11^1 + ^11^2 -^12^1 + SlS^* I
'421^1 + ^21^2 -422^1 + Sj2^J 1
положительно (или отрицательно) определена.
Поскольку в случае системы (CR): и = ии v = и3,
Ац = А22 : --- ^12 = ^21 = 11 ^11 — ^12 == ^21 = ^22 = О,
квадратичная форма
Q(K Я,) = det If; “H = XJ + ^J
II *4 II
положительно определена, эта система является эллиптической.
Если со (х, у) — произвольная гармоническая функция
, „ да да
переменных х, у, то пара функции и = ^ , v = — является решением системы (CR).
84
ГЛ И. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
Действительно, имеем
ди dv______________5гш . 52ш «
дх ~ ду ~ 1)у* = '
ди . dv____________ д2а> д2а> _______________q
ду дх дх ду ду дх
Последнее равенство написано на основании известного утверждения о перестановке смешанных производ-
д2(о д2а>
НЫХ ¦, а - = д-5- .
дх ду ду дх
2°. Понятие аналитической фуккции. Выражение вида и(х, y) + iv(x, y) = f (2), где и(х, у), v(x, у) — действительные функции действительных переменных х, у, a i— мнимая единица, называется функцией комплексного переменного z = x+iy.
Рассматривая действительные переменные х, у как декартовы ортогональные координаты точки (х, у) на евклидовой плоскости Ег, эту точку примем за изображение комплексного переменного z — x-\-iy. Следовательно, область D задания функций и {х, у) и v (х, у) является областью задания функции f(z).
Пользуясь изображением комплексных чисел на сфере Римана -и постулируя существование единственной бесконечно удаленной точки оо, комплексную плоскость вместе с точкой оо будем называть расширенной комплексной плоскостью.
Функция w = f(z) комплексного переменного каждой точке z из области D ее определения ставит в соответствие вполне определенную точку w на плоскости значений /(z), т. е. эта функция является однозначной. Мы ниже всегда будем предполагать, если обратное не будет особо оговорено, что рассматриваемые функции однозначны.
Говорят, что функция f(z) = u(x, y)-\~iv(x, у) имеет своим пределом число w0 = u0+iv0 при z-*-z0 — X0 + iy0, гфг0, если
lim u(x, y) = u0, lim v(x, y) = v0.
(*, y) -* (*o> </0> (*, “>(*!>. I;u>
Функция / (?) непрерывна в точке z^D, если функции и (х, у) и v („V, у) непрерывны в точке (х, у) е D.
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
85
Так как для модуля разности f(z) — f(z0) имеем выражение
|/(г)-/(2Ь)| =
= {[«(*- У)-и(х0. г/о)]2+ [«(*¦ y)-v(x0, г/0)]2}1/2.
то приведенное выше определение непрерывности равносильно определению: функция f(z) называется непрерывной в точке z0^D, если для любого наперед заданного е>0 существует число б>0 такое, что выполнение неравенства I z — z01 < б влечет за собой выполнение неравенства \f{z) — f(z0)\ <е.
Пусть Aw = Аи + i Av — приращение f(z-\~ Az) — f(z), z+Az, zeD, функции f(z), соответствующее приращению Az = z-j-Az — z независимого переменного z.
Если lim ^ = w' (z) = /' (z) существует и не зависит
Д2->0 йг
от пути стремления Az к нулю, то функция f(z) называется маногенной в точке z.
Приняв сначала Az — Ax, а потом Az=iAy, по определению, для моногенной в точке z функции f (z) будем иметь
Выполнение равенства (1) является необходимым условием моногенности функции f(z) в точке z = x-\~iy. Эти равенства представляют собой систему (CR). Функция f(z), моногенная в каждой точке zeD, называется аналитической в области D.
Вспомним теперь, что пара функций и(х, у), v(x, у) называется регулярным решением системы (CR), если они в области D их задания непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка и удовлетворяют этой системе. Следовательно, если и(х, у), v(x, у) —пара регулярных решений системы (CR), то функция w = f(z) — = и(х, y)-\~iv(x, у) непрерывна в области D. Более того, из непрерывности и (х, у) и v (х, у) вместе со своими про-
Аи + i Да ди . , dv
Ах дх ' 1 дх
Т. е.
ди до ди dv
дх ду ’ ду дх ’
(1)
86
ГЛ и СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
изводными первого порядка следует существование полных дифференциалов
т. е.
*> = %dx + %dy,
Аи = Ш Ах + Гу Ду + 0 (•’
Ди = ^Дх + ^yAy + o(Az),
(2)
где о (Аг) обозначает бесконечно малую величину порядка выше А г.
В силу (2) для Ддо = Ды + 1'До имеем выражение
Ада = fx Ах + д“у А у +1 fx Ах + i fy Ay + о (А г). (3)
На основании (3) и (1) мы можем написать
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed