Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Решение задачи Дирихле для полупространства
П
2 сл —Ь>0 редуцируется к рассмотренному случаю,
А = 1
если учесть, что наряду с и(х) гармонической является и функция u(kCx-{-h), где X —скалярная постоянная, С — постоянная ортогональная матрица, a h — постоянный вектор (см. пункт 1° § 1 настоящей главы).
5°. Некоторые важнейшие следствия, вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы Лиувилля и Гарнака. Из формулы (19) следует справедливость утверждения: если
i 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
55
гармоническая в пространстве Е„ функция и (х) всюду неотрицательна (неположительна), то она постоянна.
Действительно, так как при \x\<CR, |у|.= R имеют место неравенства R —1*1^1*/ — * I < # + 1 * I и по условию и (х) 3s 0, то из формулы (19) в силу (7) следует, что
Я- (я+7« У» “(0) ^ “ W •= R"~' (R^'i Г' “(0) (27)
для любого R>0. Отсюда, произвольно фиксируя точку хе?л и затем устремляя R к бесконечности, получаем, что в каждой точке х пространства Еп функция и (х) = = и (0)-
Из формулы (27) также непосредственно вытекает справедливость следующей теоремы Лиувилля: если гармоническая в Еп функция и (х) ограничена сверху (снизу), то она постоянна.
В самом деле, пусть и(х)з^М для всех х е Еп, где М — постоянная. Так как функция М — и(х) гармонична в Еп и неотрицательна, то, как только что было доказано, М — и (х) = М — и (0), т. е. и(х) = и (0).
Теорема Лиувилля позволяет утверждать, что рассмотренная в предыдущем пункте задача Дирихле для полупространства х„>0 в классе ограниченных функций не может иметь более одного решения.
Действительно, разность v (х) = иг (х) — ut (х) любых двух решений их(х) и и2(х) этой задачи удовлетворяет краевому условию v (х) = 0 при хп = 0. Рассмотрим функцию
( v (хь ... , хп), хп 0,
w {
I ^ (^lf • • • » %Tl) I %п ^ 0|
которая гармонична как при хл>0, так и при х„<.0.
Более того, функция w{x) гармонична во всем простран-
стве Еп, ибо в шаре |х|<# при любом R>0 она совпадает с гармонической функцией w* (х), удовлетворяющей краевому условию w*(x) = w(x) при |х| = /?. Так как по условию w(x) ограничена, то в силу теоремы Лиувилля она постоянна. Но w(x) = 0 при х„ = 0, т. е. w(x) = 0 всюду в Еп и, стало быть, и1(х) = и2(х).
Пользуясь принципом экстремума для гармонических функций и формулой Пуассона (20), легко можно полу-
бв
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
чить доказательство следующей теоремы Г арнака:
ОО
если ряд 2 “*(¦*) гармонических в области D функций
1
и* (х), непрерывных в D (J S, равномерно сходится на границе S области D, то этот ряд равномерно сходится в D [] S и его сумма и (х) гармонична в D.
Действительно, из равномерной сходимости ряда
•СО
2 “*(#)• следует, что для любого е>0 сущест-
1
вует такой номер N (е), что для всех р 3= 1 имеет место р
< в.
неравенство
I—1
Отсюда, ввиду того, что конечная сумма “лг+гМ
i = I
гармонична в D и непрерывна в D U S, в силу принци-
р
У Mfl+i (*)
па экстремума заключаем, что
i=i
<е для всех
к из D [j S. Последнее неравенство, как известно из курса математического анализа, является условием, необходимым и достаточным для равномерной сходимости ряда
2 ик(х) в D (J S.
к— I
Пусть х0 — произвольная точка области D и шар | у —
— лежит внутри D Каждую гармоническую
функцию ик (х) в этом шаре можно представить формулой Пуассона (20):
-лг0 = R
Rг— х—х0| ' у — хп
«а (У) dsy.
Следовательно, так как равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, имеем
i 3- ПОТЕНЦИАЛ ОБЪЕМНЫХ МАСС
ВТ
откуда и следует гармоничность и(х) в шаре \х — Хо|<?-Так как х0 — произвольная точка области D, то тем самым гармоничность и(х) доказана всюду в D.
§ 3. Потенциал объемных масс
1°. Непрерывность потенциала объемных масс и его производных первого порядка. Функция и(х), определенная по формуле
«(*) = $?(*, 9|i(5)Alf (28)
D
в случае сходимости интеграла в правой части этой фор мулы, называется потенциалом объемных масс, распределенных по области D с плотностью ц.
В дальнейшем будем считать, что область D ограничена.
Поскольку Е(х, ?) при хф\ является гармонической функцией, потенциал объемных масс и (х) гармоничен, когда точка х лежит вне D (J S, где S —граница области D. Кроме того, при он стремится к нулю при
I х | —оо.
Докажем справедливость следующего утверждения: если функция ц ограничена и непрерывна в D, то потенциал и (х) объемных масс непрерывен и имеет непрерывные производные первого порядка всюду в Еп, причем
Шг “ f hE{X' В»4®** t‘”1......"• (29)
D ‘
Пусть в — наперед заданное достаточно малое положительное число. Рассмотрим функцию
и8 (х) =* J Ее (х, I) ц (?) dxlt (30)
D
где Ей (х, ?) — непрерывно дифференцируемая в Еп функция, которая вне замкнутого шара || — х|<;е совпадает с Е(х, |). В качестве Ее(х, |) в шаре |? — х|<е можно брать при п>2 (мы здесь ограничимся рассмотрением именно этого случая), например, функцию
Ее(х, I) — 2(„_2)en-2[ra (п 2) ^g2 1 J. (31)
58
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Очевидно, что так определенная функция ие(х) непрерывно дифференцируема всюду в Еп¦ Ввиду того, что в силу (28), (30) и (31) имеет место оценка
