Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывным, а его нормальная производная претерпевает разрыв, так что
(63)
(64)
В формулах (63) и (64)
ди (х°) 1 (• (|—J?°)vrt 1 (*
-^Г = ш) Tf=*7»(|)^= 2 ]к*0i*W<65>
где
**<». O- y ^ctg-lEf- (66)
Доопределяя К* (s, t) при t — s как lim/C*(s, t), как и в
t~*S
пункте 1° при рассмотрении функции /С (s, t), убеждаемся в непрерывности этой функции по совокупности переменных s, t.
Задача Неймана (или вторая краевая задача) теории гармонических функций заключается в требовании определения гармонической в области D+ функции и(х), непрерывной вместе со своими производными первого порядка в D+ (J S и удовлетворяющей краевому условию
^)+ = ?(*°), (67)
72
ГЛ. Т УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Если и(х) и v(x) — два решения задачи Неймана, то для их разности и (х) — v (х) = w (х) в силу (67) будем
иметь -|~ = 0> откуда в силу доказанного в пунк-
те 1° § 1 настоящей главы свойства 2) гармонических функций заключаем, что ш(х) = const, т. е. v(x) = u (х) + -f- const. Следовательно, если функция и (х) является решением задачи Неймана, то решением этой задачи является и функция v (х) = и (х) + С, где С — произвольная действительная постоянная.
Из формулы (4), выражающей свойство 3) гармонических функций, в силу (67) следует необходимость условия
\g(s)ds = 0 (68)
s
для разрешимости задачи Неймана с краевым условием (67).
Если решение и (х) задачи Неймана будем искать в виде потенциала простого слоя (59) с неизвестной плотностью ц, то в силу (63), (65) и (67) для определения функции ц получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода
(A (s) + ^ К* (s; t) (а (/) dt = 2g (s), (69)
к
ядро которого К* (s, t) дается формулой (66).
Ниже будет доказано, что выполнение условия (68) является не только необходимым, но и достаточным для существования решений задачи Неймана (см. гл. V, § 3, 1°).
4°. Внешние задачи Дирихле и Неймаиа. Краевые задачи ставятся не только для ограниченных, но и для бесконечных областей. Так, например, задача Дирихле для введенной в пункте 1° § 4 настоящей главы бесконечной области D- с границей S состоит в определении регулярной гармонической в этой области функции и (х), удовлетворяющей краевому условию
u-{y)=*<f>{y), y<=S, (70)
где (р —заданная действительная непрерывная функция.
Краевую задачу в такой постановке, в отличие от задачи Дирихле для конечной области Dh (внутренней задачи), естественно называть внешней задачей Дирихле.
Как уже было сказано в пункте Г § 1 настоящей главы, регулярность гармонической в функции и{х)
§ 4. ПОТЕНЦИАЛЫ ДВОПНОГО И ПРОСТОГО СЛОЯ 73
означает, что при х -*-оо эта функция стремится к нулю не медленнее, чем |х|2_я, когда п>2, и стремится к конечному пределу, когда п = 2.
В результате инверсии х' = у^*- область D~ с границей S переходит в ограниченную область D' с границей S' в пространстве Е'п переменных х\, ..... к'п. Без ограничения общности можем полагать, что точка х = 0 входит в область D+.
Рассмотрим функцию
t; (*') = !*' 12-лы(-^т),
гармоническую в области D’. В силу (70) функция v(x’) должна удовлетворять краевому условию
= IIf'eS'. (71)
Если v (х‘) является решением задачи Дирихле в области D', удовлетворяющим краевому условию (71), то функция
и(х) = \хгъ(ф\)
будет решением внешней задачи Дирихле, удовлетворяющим краевому условию (70).
Из сказанного следует, что решение внешней задачи Дирихле, когда D~ — внешность замкнутого шара | х | 1,
удовлетворяющее краевому условию (70) на сфере \у\ = 1, дается формулой
161=1
Очевидно, что в приведенной выше формулировке внешняя задача Дирихле не может иметь более одного решения.
Если искать решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя (47), то для определения плотности (л в силу (55) получится интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Внешняя задача Неймана заключается в отыскании регулярной гармонической в области D функции и{х),
74
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
удовлетворяющей краевому условию
= xeS’ где V —нормаль к S, а ф —заданная действительная непрерывная функция.
Внешнюю задачу Неймана нельзя свести к аналогичной задаче для ограниченной области, как это было сделано в случае внешней задачи Дирихле. Однако, если искать решение этой задачи в виде потенциала простого слоя (59), то для определения неизвестной плотности ja в силу (64) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
§ 5. Некоторые сведения из общей теории
линейных эллиптических уравнений второго порядка
1°. Сопряженные операторы. Формула Грина. Заданному в области D пространства Еп линейному дифференциальному оператору второго порядка
l«= 2 Аи(х)дВ^+ i,i= 1 i=i Ац = Aji,
при наличии частных производных первого порядка у коэффициентов Ац можно придать вид
• 2 МА"Т^)+1“Т^+Са- <72)
«./ = ! <= 1
где
дАц
ei(x) = Bi-2i-dT-’ *=1.--..я. (73)
/-1 '
Когда функции (х) имеют частные производные первого порядка, вводится понятие сопряженного оператора
L'v- 2 4j(A‘i-sr)-2ir^+c'’- <74>
f. /— 1 f=l
Оператор L называется самосопряженным, если равенство Lu = L*u выполняется тождественно.
