Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 21

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 88 >> Следующая

§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБШЕИ ТЕОРИИ
75
В силу (72), (73), (74) очевидно, что оператор L будет самосопряженным тогда и только тогда, когда
^ дА,/ =В<(х), i=l, .... п.
Д а‘-
всюду в области D.
При требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора L и достаточной гладкости границы 5 области D и функций ы(х) и v(x) в результате интегрирования тождества
vLu-uL*v = 2 2тйГ<в'“о)
>, / = 1 i = i
по области D в силу формулы (GO) получаем формулу Грина
^ (vLu — uL*v) drx = ^ ^av — uQ^ds^,
d S
где
Qlv = a4W~bv' <75>
N — единичный вектор — конормаль в точке |gS с направляющими косинусами
П
cos Nli = д- 2 Ач cos v?'’ t = 1, .. •, Я,
/=1
V —внешняя нормаль к S в точке а
П In ^ \ 2 Л
°г = Е Е АН C0S ^ > Ь = C0S V&-
(=i \/=i / г = 1
5 силу равномерной эллиптичности оператора L ко-
нормаль N ни в одной точке | поверхности S не_ выходит в касательную плоскость и а Ф 0.
2°. Существование решений линейного эллиптического уравнения второго порядка. Обозначим через ач отношение алгебраического дополнения элемента матрицы 1 Ау |
76
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
к детерминанту А = del | Atj | и введем функцию
П
<*{х, Е)= .? aif (х) (Х{ - It) (х/ - If),
г./=|
где x и ? — точки области D. Без ограничения общности будем считать, что а(х, ?)3г0.
В силу равномерной эллиптичности оператора L существуют положительные постоянные /г0 и kx такие, что
fee | х - ? |2 а (*, ?) sg kt | л: -112.
Предположим, что в D у 5 функции Aih Bt, С имеют непрерывные частные производные третьего и первого порядка соответственно.
При х Ф | для частных производных первого и второго порядка функции iJj (jc, ?), определенной формулой
[ ME)о"*-, п>2,
!>(*¦ 6)= 1 , „ (76)
------T=^loga, п = 2
I 2пУ А (|)
о0 = [юл(«-2) VА (?)]-1. ,
имеем
дф dxL
i= 1
л -J-2
— щ, (х) о (х, ?) +
dxi дх/
<у„а)о 2
+ «2 aik{x)aJl(x){xk-lk){xl-ll) k, (=i
+ Pv(x, I), (78)
где Pt(x, g) и Pif{x, l) при |x —?|-»-0 являются бесконечно большими, одинакового порядка с \х — ?|2-л и \х — ?|1_я соответственно.
Из (78) следует, что, когда л>2 и хФ\,
П п
2 = 2 Ли(х)Р^х, I). (79)
t,i= I ' I, /=i
На основании (76), (77). (78) и (79) заключаем, что при \х — Е;->-0 функция 1лр(jc, |) обращается в бесконечность как |х —||1л.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
77
Когда л = 2, считая без ограничения общности, что Щ) = 0, i Ф /, аи = 1, I, / = 1, 2, при х Ф | получаем
2 Aii W дх, дх, = °*
>. /=|
Функция
ш(х)= $ tp(x, |)|A(|)dT|,
D.
где D0 — подобласть области D с границей S„, называется обобщенным потенциалом объемных масс, распределенных по области Du с плотностью fi.
При требовании непрерывной дифференцируемости (а(?) в D01J Sn повторением рассуждения пунктов 1°, 2° § 3 настоящей главы заключаем, что
Lw (.с) = —V (х) + ^ Lty (х, |) ц (I) dxb (80)
Do
где в правой части второе слагаемое является обычным несобственным интегралом.
Будем искать решение и{х) уравнения
Lu = f(x) (81)
в виде
и (х) = <о (х) + $ гр (х, I) ц {%) drb (82)
Do
где и (х) — произвольная действительная функция, непрерывная в D0 U 50 вместе со своими частными производными до третьего порядка, а ц — неизвестная пока действительная функция.
В силу (80) представленная формулой (82) функция
ы(х) будет решением уравнения (81) тогда и только тогда,
когда
И (х) + I К (х, 5) (А (?) dx% = F (х), (83)
Do
где
/С(х, ?) = —Ltp(x, |), F (х) = La (х) — f(x).
Равенство (83) относительно неизвестной функции и представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое, как будет показано в главе V,
78
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
по крайней мере в случае области D0 достаточно малого диаметра всегда имеет решение.
Поскольку ю(х) — произвольная функция, тем самым доказано, что в достаточно малой окрестности каждой точки области своего задания уравнение (81) имеет целое семейство регулярных решений.
Когда ю = гр(х, у), правая часть интегрального уравнения (83) при у = х обращается в бесконечность как \у — х|1-л, но по замечанию пункта 2° § 2 главы V мы вправе повторить приведенное выше рассуждение и утверждать, что формула (82) дает элементарное решение уравнения (81):
Е{х, у) = Ч>(х, у)+ $гр(х, ?)ц(?)^т5.
Do
3°. Постановка краевых задач. Пусть pi{x), i=l, ... ..., п, q(x) и т (х) — заданные на границе 5 области D действительные функции. Широкий класс задач для уравнения (81) охватывается следующей линейной краевой задачей Пуанкаре: найти регулярное в области D решение и(х) решения (81), удовлетворяющее краевому условию
ft
2pi +q ^и =г е 5> (84) t=1
где под и и (х) понимаются предельные значения этих
функций на S изнутри области D.
В случае, когда р,- (х) = О, i = 1, ..., п, q (х) Ф О, всюду на S, краевое условие (84) можно переписать в виде
u(x) = g (х), (85)
где
ё(х) — г (x)/q(x).
Задача (81), (85) называется первой краевой задачей или задачей Дирихле.
Частным случаем задачи Пуанкаре, при q (х) = 0 на S, является задача с наклонной производной ft
2 Pi W Щ = r W» х е s- (86)
(=1
§ 5. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed