Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
в(х, ?) = ?(*, 6)-?(|х|?, jjj). (14)
Действительно, ввиду того, что |x|g-f^| = [|JC|«|g|«-2xg+l]'/* = ||6|x-Ti = 16
х —-
= X
l*i!
(15)
функция g{x, 6) = — е(\х 16, j-Jf) при \х\<1, |6|<1
является гармонической как по х, так и по ?. А при j ?1 = 1 имеем
16-дс| = [|д:|*-24 + 1]«/»-||5|дс-т|
1*16'
(16)
Следовательно, представленная формулой (14) функция G (х, 5) удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функции Грина.
Так как при |6|=1 в силу (16)
dG (х, I) _ vi |gj (It—Xj)
— \l-x\*
dV|
i= l
то формула (12) в рассматриваемом случае запишется следующим образом:
<17>
1*1 = 1
Эта формула носит название формулы Пуассона.
$ 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
51
В случае п — 3 и п — 2 формула Пуассона в поляр ных координатах запишется соответственно в виде
п 2Л
“<*¦' *¦ $ (1-2
О о
ф = ф (li, |2, Is), = sin # cos = sin ¦& sin Tj>,
|3 = cos ¦&, | jc | cos y = x%,
u(x 1, x2) =
2л
S 1 —2 i x | соз~(Ф — ч|>) +' x 2 ^ (C0S Sin^^’ <18>
0
jCj. = | jc J cos ¦&, jc3 = | л: | sin -в-, ^^cosip, = sin -ф.
Формула (17) была выведена для единичного шара с центром в точке х = 0. Если и (х) — гармоническая в шаре |je|<tf функция, непрерывная в замкнутом шаре | х | R и удовлетворяющая краевому условию lim и (х) =
х—* у
= Ф (У). IX | < R, \y\ = R, ТО функция v (г) = и (Rz) будет
гармонической в шаре | г | < 1, непрерывной при | z | < 1
и удовлетворяющей краевому условию
limi/(z) = q>(#/), | г | < 1, |/| = 1.
Z—*t
Поэтому в силу формулы (17) имеем
151 = 1
“«—(г)-г!* \
151 = 1
или, после замены y=Rl,
“М~53Г j (19)
\y\=R
Пусть и (л:) — гармоническая в шаре | х — х01 < R функция, непрерывная вплоть до границы и удовлетворяющая краевому условию Нти(л:) = <р(г/), l x — x0 '<R, \ у —
х-+У
— Xo\ = R- Так как функция w(z) = u(z + xq) гармонична
52
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
в шаре | г | < R, непрерывна при | г \ R и удовлетворяет краевому условию Нтш(г) = ф(< + *о).
z->t
то в силу (19) можем написать
J TTETjf* (t + Xo)dst,
]<)=¦«
откуда сразу следует формула Пуассона для шара \х —
— x0\<R:
u(x)^w(x-x0)=-^ J (?)<Ц- (2°)
При х = Хо из формулы (20) снова получаем формулу (7) о среднем арифметическом.
3°. Проверка краевых условий. Теперь покажем, что определенная по формуле Пуассона функция и (х) удовлетворяет краевому условию (13) и, стало быть, эта формула дает решение задачи Дирихле в приведенной выше постановке.
Ради наглядности рассуждения ограничимся рассмотрением случая п = 2. Так как и(х) = \ является гармонической функцией, удовлетворяющей краевому условию lim и(*)=1, |х|<1, где х0 — произвольная фиксирован-
X -+Х9
ная точка на окружности |х| = 1, то для всех точек х в круге |х|<1 из формулы (17) получаем
2л
2^ \ = Sa = sin ч|з. (21)
о
На основании формул (17) и (21) имеем
2л
и(х)-ф(*о) = 2Н \ ||~-т[ф(6)-фЫ]^ |х|<1.
(22)
В силу равномерной непрерывности функции ф на окружности |х| = 1 для любого наперед заданного е>0 существует б (е) > 0 такое, что для всех “ф и ^0, = cos if,
|2 -= sin -ф, х10 = cos -фо, А'го = sin яро, удовлетворяющих условию | “ф — "фо | <С б, имеет место неравенство
1Ф(?)-ф(АГ0)|<е. (23)
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
83
Перепишем выражение (22) в виде
фо-6
/Фо — в 2л
/\ро““Р >
S + S
\ 0 Фл+в,
'-JZ^TT 1ф (S) - Ф (*о)1 dy.
На основании (21) и (23) заключаем, что | /х | С е. После выбора 6(e) возьмем х настолько близко к х0, чтобы имело место неравенство
т. е. | /а I < е. Следовательно, | и (х) — ф (х0) ] •< 2е и, стало
4°. Решение задачи Дирихле для полупространства.
Рассмотрим теперь случай, когда область D совпадает с полупространством хп>0, а от искомого решения задачи Дирихле потребуем, чтобы оно было ограничено. Пусть х и ? — точки этого полупространства, а ?' = (Еъ ... ..., — ?„) — точка, симметричная точке ? относитель-
но плоскости ?„ = 0. Так как функция g(x, ?) = — Е (х, ?') при хп > 0, ?„ > 0 является гармонической как по х, так и по ? и, кроме того, Е(х, ?) — Е(х, %') = 0 при ?» = (),
является функцией Грина для рассматриваемого полупространства.
Будем предполагать, что для искомого решения и(х) задачи Дирихле в рассматриваемом случае справедлива формула (12). Это заведомо так, если для всех xsD при |х|->-оо
быть.
lim и (х) = ф (лг0), | х | < 1, | х01 = 1.
то
G(x, l) = E(x, l)-E{x, V)
(24)
54
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
где А и h — положительные постоянные. В соответствии
,п- 1 ч 1/2
с этим при больших 6 = ( ^ уц и заданная на плоскости уп — О функция ф (г/ь ..., yn-i) должна удовлетворять условию
I I л
IФ I < 5ft •
Подставляя выражение G (х, |) из формулы (24) в правую часть формулы (12) и учитывая, что
dG (х. I) __ dG (х, |) ln—Xn _ in + xn _
dl„ \l — x,n |?' — x*
при ?„ = 0, получаем формулу
П— 1
п} 2
i*= 1
у ч _____ ^ (я/2) С Ф (%Ъ l) Jt Jt /9^
U (jc) ^n/2 J Гл —1 -Ы/2 “Si • • • (25)
дающая решение задачи Дирихле с краевым условием
lim и (х) = ф (г/i, ... , уп-х), хп >0, уп = 0, (26)
х-+у
для полупространства хп>0 и носящую также название формулы Пуассона.
Тот факт, что определенная по формуле (25) функция удовлетворяет краевому условию (26), доказывается точно так же, как это было сделано выше в случае задачи Дирихле для круга.
