Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
ди . , ди . .ди ди.. . .
дх^Х + ди^~1диАх+1дхАу + 0{Аг)
XI)' = р (z) = lim ---^--------------j-Ц-т-т— ------=
' v ’ дг-»о А* + ‘ дг/
Г ди .ди , о(Аг)1 ди .ди
+ (4)
А это означает, что функция f(z) моногенна в каждой точке zeD,
Таким образом, мы пришли к заключению, что функция f (г), действительная и (х, у) и мнимая v (х, у) части которой представляют собой регулярное в области D решение системы (CR), является аналитической в этой области.
Резюмируй все сказанное выше, мы можем утверждать, что выполнение условий (CR) необходимо, а при требовании непрерывности частных производных первого порядка функций и (х, у), v (х, у) и достаточно для аналитичности функции f(z) = u(x, у) + iv (х, у) в области D.
Полученное для до' = /' (z) выражение (4) называется производной аналитической в области D функции f(z), а главная линейная относительно Дх и Ду часть Aw:
л=а>+а1>+'в>+‘:?>=
(5)
\дх 1дуУ
— дифференциалом функции / (г) в точке z^D.
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
87
Так как f'(z)— lim ^=1 в случае f(z) — w — z, то
Дг -*¦ О
в силу (5) имеем dz = Az. Пользуясь полученным равенством, дифференциал (5) мы можем записать в виде dw = = f’(z)dz, откуда берет свое начало запись
§=/'(*)¦ (6)
Вводя обозначения
д _ I ( д д\ д _ \ (д д\
дг~2\дх 1ду)’ дг ~ 2 \дх^ 1 ду) '
системе (CR) можно придать вид
Д w (г) = 0. (8)
Следовательно, аналитические функции w = f(z) комплексного переменного z являются решениями уравнения (8). Запись (6) производной f (z) аналитической в области D функции f(z) находится в полном соответствии с обозначениями (7), если учесть равенство (8).
3°. Примеры аналитических функций. Класс аналитических функций обширен. В частности, если со(х, у) — гармоническая в области D функция действительных пере-
. с, ч да .да
менных х, у, то функция w = / (z) = ^ — t -щ аполитична
в области D.
Пусть /(г) и ф(г) — заданные в области D аналитические функции. Так же, как при рассмотрении действительных дифференцируемых функций одного действительного переменного в курсе математического анализа, доказывается, что наряду с f(z) и ф (z) аналитическими являются и функции /(z) ± ф (z), f(z)q> (z) и f(z)/q> (z), Ф (z) Ф 0, причем
(/±ф)'=Г±ф', (/•Ф)'=/'Ф + /Ф'> = (9)
Так как* = 1, то на основании (9) заключаем, что полином
88
ГЛ II СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
и дробно-линейная функция
(Ю)
где а, Ь, с, d — постоянные, аполитичны на всей плоскости переменного z и
Покажем теперь, что сумма S (z) степенного ряда
в круге | z | < R, R > 0, его сходимости является аналитической функцией.
Сначала заметим, что если R — радиус сходимости ряда (11), то радиус сходимости ряда
тоже рабен R. В самом деле, в силу известной из курса математического анализа формулы Коши —Адамара для радиусов R и Rx сходимости рядов (11) и (12) имеем
Поэтому справедливость нашего утверждения следует из очевидных равенств
lim (6|а*|)1/(*-1> = lim kl/(k~l) (| а* |»/*)*/(*—о = lim | ah
k —* СО k —* со k —* со
Здесь lim означает верхний предел выражения, перед которым стоит этот знак. Известно, что степенной ряд внутри круга сходимости сходится абсолютно. Из абсолютной сходимости ряда (12) при | z <.R следует, что для любого е>0 существует натуральное число N такое,
П
оо
S (z) = 2 ahzh
(И)
оо
(12)
где
I — lim | a* |l/\ li = lim (k \ ak |)>/(*—o.
ft-» CO
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
89
что
2 k I ак 1 г*-1 <
fe es П -f- I
для всех n^sN, если только /•</?. Очевидно, что
S (г Дг) — S (г)
Дг
(13)
? ak [(z + Дг)*-1 +... + г*-1 — fez*-1]
+
+
+
Ц kakz*-'
k = n + \
(14)
2 Kz + Az)*_1 + • • • + zk~l\
fe = n + 1
В предположении, что величина Дг достаточно мала и |г|<г, |г + Дг|<;г, в силу непрерывности первого слагаемого в правой части (14) и неравенства (13) имеем
а это означает, что
цт Кг+-^^г) = (г) в s„ (z).
Дг-^О
Следовательно, степенной ряд (11) внутри его круга сходимости можно почленно продифференцировать, причем сумма продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.
На основании этого утверждения убеждаемся в аналитичности элементарных функций е*, cosz, sinz, chz и sh z всюду на плоскости комплексного переменного г, причем
и-- 2- -2й-2»-*
(cos г)' —
<г = 0 / * = 1
е'г + е-<*\' ieiz_ig-iz
fc = о
eiz—erlz
,Й«Г-(Ц=)'
2 2 i ie,z -f- ie~‘z ciz + e~iz 2/ = 2 : ez—e~z
= — sinz,
• cos z,
(sh г)' = ~2~) = -^?1" - ch z
• sh z,
90
ГЛ II СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
4°. Конформное отображение. Аналитическая в области D функция w — f(z) каждой точке zeD ставит в соответствие вполне определенную точку на плоскости комплексного переменного w. Если при этом функция w = f(z) осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками области D ее определения и области ее значений, то говорят, что функция w=*f(z) однолистна. Соответствие между точками областей D и Dt, осуществляемое функцией w = f(z), называется отображением области D на область D1. Точка sieD] называется образом точки zeD, а точка г — прообразом точки w.
В настоящем пункте будут рассмотрены отображения, осуществляемые аналитическими функциями.
