Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
жительную часть действительной оси 1шш = 0, то эта
s1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
97
функция угол -^<argz<2^^^" конформно отображает на плоскость w, разрезанную вдоль действительной полуоси: Осы-соо.
В обозначениях z = ле'ф, w = pei'i> из (24) получаем ре1’1’ = гпёпУ или гп — р, /1ф = if + 2йя, т. е.
г = р^, ф = 1±^5, fc = 0, ± 1, 0<г|)<2я.
Итак, в каждом из углов Dk: ^ < arg z < —,
k = 0, п— 1, для обратной функции (25) имеем
l_ i|) + 2fen
г* = рле " , k = 0, ..., /t—1. (26)
Рассматривать каждую из величин zft как отдельную функцию переменного w нецелесообразно по той простой
причине, что, например, в области D: ". <argz<"^
обратная функция z = wn при ^<argz<^ совпадает
с г0, а при ^ < arg г < ^ — с zi. Каждую из гк,
k = 0, ..., га—1, принято называть ветвью многозначной функции z=w1/n.
Следовательно, обратная функция (25) не является однозначной. Когда точка г пробегает плоскость г один раз, функция w пробегает п раз плоскость w. Поэтому говорят, что функция (24) является п-листной, а определенная формулой (26) обратная функция — п-значной.
Отображение, осуществляемое многолистной функцией, можно истолковать как взаимно однозначное отображение области определения этой функции на так называемую риманову поверхность. Проиллюстрируем сказанное на примере функции
w = г*. (27)
G этой целью рассмотрим два экземпляра Е+ и Е~ плоскости w, разрезанной вдоль положительной части действительной оси. Когда г пробегает полуплоскость г+, то w пробегает Е+. Когда г переходит из z+ в гг через отрицательную часть действительной оси lmz = 0, то w перр^Аттит из нижнего края разреза ?+ на верхний край
4 А, В. Ьицадзе
98
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
разреза Е~. Склеим нижний край разреза Е+ с верхним краем разреза Е~. Далее, когда z пробегает zr и подходит к положительной части действительной оси, то w пробегает всю Е~ и подходит к нижнему краю разреза Е~. Идентифицируя нижний край разреза Е~ с верхним краем разреза Е+ (склеивать их уже не удастся), получим двулистную риманову поверх-гг1 ность, на которую функ-
ция (27) взаимно однозначно отображает плоскость z (рис. 8).
Е*(?~) Соотношение (27) осу-
“ ществляет взаимно одно-
значное соответствие меж-Рис- 8- ду расширенной плоско-
стью комплексного переменного г и римановой поверхностью функции г = а/1/2, которое явля!ется конформным всюду, кроме точек г = 0 и z = со. Соответствующие 2 = 0 и г = оо точки ю = 0 и w — оо обладают тем свойством, что при обходе вокруг них против часовой стрелки один раз, исходя из фиксированной точки w, по возвращении к этой же точке происходит переход от одной ветви г0 на другую ветвь zv По этой причине точки w = 0 и w = co принято называть точками ветвления функции z = ы>1/2.
Аналогично вводится понятие точек ветвления функции Z = w1/n. Ими являются точки W = 0, W = ОО.
Областью однолистности экспоненциальной функции
w = e* (28)
является любая полоса D ширины 2л, параллельная действительной оси Im z = 0. Это следует из того, что для точек zl и z2, ?=z2, равенство eZl = е2> возможно лишь
при z% — z1 = 2kni, 6 = 0, ±1, ...
Функция z = f~1(w), обратная функции (28) в полосе D, называется логарифмической функцией; она записывается в виде
г = log w, (29)
причем
dz 111
5 1. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
99
Из равенства w = и 4- iv = рё^ = ez = ехёу находим, что р = ех, й/ = ity-\-2kni, т. е. х = logр, y = ty-\-2kn. Следовательно, в каждой полосе Dk: 26я<;1тг<;2.(6 + 1)п для функции (29) имеем
гк = log | w | + i arg w 2kni,
0 sgarg w <2л, 6 = 0, ±1, ...
Значение г0 = log | w | + i arg до, 0 с arg w <2я, называется главным значением логарифмической функции (29). Так как функция (28) прямые Imz = const переводит в лучи arg w = const, то эта функция каждую из полос Dk,
6 = 0, ± 1, ..., конформно отображает на разрезанную вдоль неотрицательной части действительной оси плоскость w. Следовательно, экспоненциальная функция (28) является бесконечнолистной, а логарифмическая функция
(29) — бесконечнозначной.
Логарифмическая функция позволяет определить степенную функцию w = 2“ при любом показателе а как w = ei°gza_eaiog2) а показательную функцию w = az как
w _ glogаг - ez logа_
Чтобы получить определение функции г = arcsin w, обратной функции
eiz_g~lz
ID = silTZ= jy ,
запишем это равенство в виде квадратного уравнения относительно ёг\
e2iz - 21тё* —1=0,
решением которого является функция
ёг = iw ± УI — wг.
Отсюда ввиду того, что log eiz = iz = log (iw ± У1 — w*), находим
z = arcsin w = 4- log (iw ± Y1 — w*)>
iz 1 1 1 1
H dm cosz Kl—sin**= V di
4*
100
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
§ 2. Комплексное интегрирование
1°. Понятие комплексного интегрирования. Пусть S — кусочно-гладкая, замкнутая или разомкнутая конечная кривая Жордана, а /(?) = ы(Е, r)) + iy(i, л) —заданная на ней непрерывная функция переменного ? = | + ni-
Так как криволинейные интегралы
Jud% — v dr), ^ и di) + v (30)
s s
существуют и
/(?)# = (“ +iv) № + i di]) = и - v drj + i {ud^ + v d?),
то выражение вида
\ud? — vdr\ + l\ udi\ + vd?=y(?)d? (31)
