Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
/(*)= 2 а*(г —г0)*, n^ 1, апф 0.
k = n
, При n = 1 нуль г0 называется простым, а при n> 1 — кратным (п-кратным). На основании (61) заключаем,
116
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
что Zo является ti-кратным нулем функции f(z) тогда и только тогда, когда
p>(z о) = 0, 6 = 0.....л-1, р>(*о)#0.
Следствием теоремы Тейлора является также теорема Лиувилля: ограниченная аналитическая на всей плоскости z функция f (г) постоянна.
Действительно, в силу (60) имеем
2л
( f (бе10) ¦ 1де'в ав
akl = ~t
2л
1 С I * I dd ^ M . „ .
srjl'l *<*• *=0.1.......................
где M — верхняя грань | f (г) | на плоскости г, а б — произвольное положительное число. Из этого неравенства в пределе при б —>-оо получаем а* = 0, 6=1, 2, ..., т. е. f(z) = = Оо = const.
5°. Ряд Лорана. Каждый член степенного ряда по отрицательным степеням
— 00
2 аь (г — го)*» г0ф со, (62)
ft=— 1
является аналитической функцией переменного - z при О* < | г — г01 < оо. В результате замены z — z0 = * ряд (62) записывается в виде степенного ряда
СО
2 (63)
k = \
Приняв ? = 0 при г = оо, убедимся, что если |?| —
круг сходимости ряда (63), то ряд (62) будет сходиться
вне замкнутого круга | z — г01 r = -j-.
Так как вне круга \z — z0\<p для любого р>г ряд (62) сходится равномерно, то в силу первой теоремы
Вейерштрасса сумма этого ряда St (z) = S* где
S*(?) —сумма ряда (63), аналитична во всех точках z, удовлетворяющих условию |z —z0| >л
S 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 117
Когда ряд (62) сходится при \г — г0\>г, а степенной
ОО
ряд S% (z) = ^аь(г — z0)h сходится в круге \z — z0\<R, fe*= о
ОО
где R>r, то ряд ak(z — z<>)k сходится в кольце К:
к — — со
r<.\z — z0\<.R и его сумма S' (г) = (г) + S2 (г) является
аналитической функцией в К.
Справедливо и обратное утверждение — теорема Лорана: аналитическая в кольце К функция f (г) в каждой точкегЕ К представляется в виде суммы ряда
f(z)= ? ak(z-z0)*,
k = — 00
(64)
где
ak
1 С _ш
2ni J ([—
/(?)<% (S-Zo)**1 !
k = 0, ±1,
(65)
1C-
Рис. 11.
а у — окружность — г0| = 6, r<8<R.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим кольцо (рис. 11)
Ki- r<r1<\z — z0\<R1<R.
В произвольной точке ге^ по формуле (48) имеем 1
2 ni
С 1M_J_ С 1М =
J г 2я» J ?-г
1C—Zo I — #1 _ _1_
“ 2л1
1
1
1C—г,| = Я,
/(?)<? +
?-г0
1C *»l— fi г—г#
(66)
118
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
Так как ряды
(67)
?-г„ \* _1
k = 0 " 1
г—г0
сходятся равномерно, когда ? лежит на окружностях | ? — г01 = Ri и | ? — г01 = соответственно, то, внося (67) и (68) в правую часть (66), получим равенство (64), в котором
ак~-
1 С ./(Off k=z0 ,..................................................................................... (69)
ak = J^ [ f (l) d\ * = —1, —2, ... (70)
Но /(?)(? —го)-*-1 является аналитической функцией ? в кольце К, поэтому в силу теоремы Коши в правых частях (69) и (70) интеграл можно считать распространенным вдоль окружности | ? — г01 = б, г < б ¦< Я.
Ряд в правой части (64) называется рядом Лорана или лорановским разложением функции /(г), а ряды
00
21 а*(г-г0)'' = /1(г-г0), (71)
fe=0
со
2<М*-*)-*-Л(-пУ (72)
k= 1
— правильной и главной частями лорановского разло-
жения (64). Тейлоровское разложение, очевидно, является частным случаем лорановского разложения.
Легко видеть, что лорановское разложение (64) в данном кольце единственно. В самом деле, при наличии двух разложений
00 00
/(2)= ? fl* (z-z„)*= 2 (73)
к=—оо k——оо
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОП ФОРМУЛЫ КОШИ 119
умножая обе части равенства (73) на (г — г0)-л-1 и интегрируя вдоль окружности у, в силу равенств (43), записанных в виде
получаем ап = Ьп, п = О, ±1, что и доказывает един ственность разложения (64).
6°. Понятия особых точек и вычета аналитической функции. Если в некоторой окрестности \г — г01С б точки Zo комплексной плоскости z функция f(z) аналитична всюду, кроме самой точки z0 (в которой она может быть и не задана), то z0 называется изолированной особой точ кой аналитической функции f(z).
В силу теоремы Лорана в кольце О С л < | г — г0: С б функция /(г) разлагается в ряд Лорана (64). Устремляя г к нулю, убеждаемся в том, что полученный для f(z) ряд Лорана (64) сходится для всех г, удовлетворяющих условию 0 < | г — Zo | < б.
В зависимости от того, будет ли множество отличных от нуля коэффициентов ak, k =—1, —2, ..., в лоранов-ском разложении (64) пусто, конечно или бесконечно, изолированная особая точка г0 называется устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой. Точка z0 называется полюсом порядка п>0, если а-аФО и все a-k = 0 при k>n.
Из лорановского разложения (64) видно, что, когда изолированная особая точка z0 устранима, lim f(z) = ao,
Из определений нуля и полюса следует, что если точка z0 е= D является нулем кратности п (полюсом по рядка п) аналитической в области D функции f(z), то эта точка является полюсом порядка п (нулем крат-
Действительно, в окрестности точки z0 функция / (z) разлагается в ряд
(74)
а когда z0 — полюс, lim /(z) = oo.
ности п) для функции ущ
СО
f(z)= 2 ak(z-z0)k, атф О,
