Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
fi(z) — fi(z)> геу,
то функция
( fi (z), z<=Du
/(2)= h (г). ге02,
I fi (г) = h (г), геу,
аналитична в области D = D1[) D2\jy (когда дуга у разомкнута, предполагается, что концы к ней не причисляются) (рис. 15).
Справедливость принцица непрерывности будет доказана в силу теоремы Морера, если мы покажем, что интеграл от f(z) по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой Жордана S, лежащей в D, равен нулю.
Но в силу теоремы Коши
$/(z)dz = 0, s
когда S лежит в DiUv или в D2(Jy- Пусть теперь S является контуром области D$, пересечения которой как с Du так и с D2 не являются пустыми. Так как интегралы от /(г), распространенные по контурам Dsfl^i и Dsf\D2, равны нулю в силу теоремы Коши, а в сумме
этих интегралов участки дуги у. входящие в контуры DsftDx и Ds П ?>2, точка интеграции проходит два раза по противоположным направлениям, то и в этом случае рассматриваемый интеграл равен нулю.
3°. Принцип симметрии Римана — Шварца. Пусть участок у границы односвязной области D, расположение. 16. ной в верхней или нижней •
полуплоскости, является отрезком действительной оси lmz = 0, а функция /(г) =
= и (х, у) + iv (х, у) аналитична в D, непрерывна вплоть до
у, а на у ее мнимая часть v {х, 0) = 0. Риману и Шварцу
i 4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
129
принадлежит утверждение, что в этих условиях в область D, симметричную области D относительно у, функция f (г) продолжается аналитически, причем, если г ^ D, то f(г) = Нг) (принцип симметрии Римана — Шварца) (рис. 16).
Справедливость этого принципа следует из того, что в окрестности каждой точки г0 е D имеем f (г) =
СО СО
= 2а*(г —г0)й. Следовательно, ряд ? ak (Z - 20)* = f (z)
k=0 k=0_____
также является сходящимся. Под f (z) = f (2) будем понимать аналитическую в области D функцию, представляю-
ОО
щую собой сумму степенного ряда 2 й* (z — zn)*, zn е D.
*=0
Так как при lmz = 0 имеем lm/(z) = 0, то f(x) = f(x), когда хеу.
Функция
f(z), z<=D,
F(z)= f(x) = f(x), x<=y,
f (z), zeD,
в силу принципа непрерывности является аналитической в области DUDUY. и тем самым принцип симметрии Римана— Шварца доказан.
Пусть теперь участок у0 границы области D представляет собой дугу окружности С, a D* — лежащая вне D область, примыкающая к Yo и расположенная симметрично D относительно С. Поскольку в результате дробно-линейного отображения можно добиться того, чтобы образом у0 служил участок у действительной оси, принцип симметрии Римана — Шварца можно сформулировать следующим образом: если функция f(z) аналитична в области D, непрерывна вплоть до уо и Im f (z) = 0 на у0, то f(z) аналитически продолжается из области D через уо в область D*, причем при
/(z) = f(z*),
где г* — точка, симметричная г относительно С.
С А. В. Бнцадзе
180
ГЛ. П. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
§ 5. Формулы для предельных значений интеграла типа Коши и некоторые их приложения
1°. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши. Пусть S — замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, a f(t) — заданная на ней непрерывная функция. В пункте 4е § 2 настоящей главы было показано, что интеграл типа Коши (49) в каждой точке г, не лежащей на S, является аналитической функцией. Когда точка г es S, интеграл типа Коши в обычном понимании, очевидно, не существует, но при некоторых дополнительных предположениях относительно функции f(t) и кривой S ему можно придать вполне оправданный смысл.
Ниже будем предполагать, что кривизна кривой 5 непрерывна. Пусть t0&S, у — окружность 11 — t01 = е достаточно малого радиуса, a Se — часть S, лежащая вне замкнутого круга \ t — f0|<e.
Интеграл
ms.
очевидно, имеет смысл в обычном понимании.
Когда существует
lim/e(f0) = /(*o),
е-*о
этот предел называется интегралом в смысле главного значения по Коши или сингулярным интегралом и его принято обозначать обычным символом интеграла:
'<«=)¦т^г <91>
Некоторые авторы правую часть (91) снабжают либо латинскими буквами v. р. спереди, означающими сокращенную запись французских слов valeur principal (главное значение), либо звездочкой сверху или снизу знака интеграла. ,
Покажем, чтс^ если f (t) удовлетворяет условию Гёльдера, т. е. когда существуют постоянные Л >0, 0</i*^l, такие, что для любых tlt ^eS
(92)
интеграл в смысле главного значения (91) существует.
s 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ
131
В самом деле, на основании интегральной формулы Коши (46) выражение (91) перепишем в виде
I (f \__С / (0 / (to)
~t-h~
где Yi — часть окружности у, лежащая вне конечной области D с границей S.
В силу условия (92) заключаем, что несобственный интеграл
j г—to е_*о J ‘ — *о
сходится равномерно и представляет собой непрерывную функцию t0.
С другой стороны,
lim \ -т-^-7-= limi \ dq> = ni, t — t0 = ee?<r.
8-*-0 J * *0 g-*0 v
Уг Vi
Следовательно, из полученного выше выражения для I&(t0) в пределе при в-*-0 имеем
lira /. (t0) = j = "V (*») + j m^L <U- (93)
Когда кривая S разомкнута в предположении, что t0sS не является концевой точкой S, интеграл в смысле главного значения по Коши определяется опять-такн как предел выражения
