Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
где т = п или т = — п в зависимости от того, является
120
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
ли z0 нулем или полюсом для /(г). Поэтому
yL = (z-z0)~m^, ф(г)= f] ак (г — г0)к~т.
Так как -4—> = — Ф 0, то вблизи точки г0 функция
ф (*о) ат ф(2)
является аналитической и ее можно представить в виде суммы степенного ряда
2ь„(г-го)\ Ьо-^ФО, fe=0
и, стало быть,
т~ 1 м*-*.»*--
к=0
Отсюда следует, что точка г0 является для функции
полюсом порядка п или нулем кратности п в зависимости от того, т — п или т = — п.
Аналогично убеждаемся в том, что если г0 является устранимой особой точкой аналитической функции f(z),
то г0 для ^ является устранимой особой точкой при
lim ?(г)Ф 0 и полюсом при lim f(z) — 0.
Z-*Z* z—>Zo
Если z0 — существенно особая точка функции /(г) и в некоторой окрестности этой точки f(z) Ф 0, то для
^ точка Zo будет изолированной особой точкой. Более
того, поскольку г0 для ущ не может быть ни устранимой
особой точкой, ии полюсом (в противном случае г„ была бы устранимой особой точкой или нулем для f (z0)), она является существенно особой точкой.
Поведение функции /(г) вблизи существенно особой точки характеризуется следующей теоремой Сохоц-кого — Вейерштрасса: если г0 — существенно особая точка функции /(г), то для любого комплексного числа а можно найти сходящуюся к г0 последовательность точек zk, k=\, 2, ..., такую, что lim f(zk) = а.
5 3 СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 121
Сначала рассмотрим случай, когда а = оо. Вблизи точки 20 функцию f(z) представим в виде
f{z) = h(z- Zo) + f% (i370) •
где fi и /2 даются по формулам (71) и (72). Так как ряд в левой части (72) сходится при | г — г0 i > 0, то функция
= С = как сумма степенного ряда
ОО
? a-k%h> сходящегося для всех точек плоскости ?, не *=1
может быть ограниченной. В противном случае в силу теоремы Лиувилля /г(?) была бы постоянной, т. е. главная часть в лорановском разложении отсутствовала бы, а это невозможно, ибо гп является существенно особой
точкой для /(г). Таким образом, функция fa(?) = /af——)
\Z z0 /
вблизи точки 20(с = оо) не может быть ограниченной, и поэтому можно указать последовательность ?*, 6=1,2,..., сходящуюся к оо, такую, что lim f2{t>k) = оо. Следова-
тельно, существует последовательность г* = г0 + р, к —
( I
-----1 *=
Ч-*о/
= оо. Отсюда, так как lim fi(zk — z0) = a0, заключаем,
гк~*г о
что lim f (zk) = оо. гк^г о
Пусть теперь а —конечное число. Рассмотрим функцию f(z) — a, для которой г0, очевидно, является существенно
особой точкой. Если в каждой окрестности |г — 2о|«Сеточки г0 существует точка zk, в которой f(zk) = a, то будем иметь lim f(zk)—a. Если же точка г0 имеет окрест-
г*^го о
ность, в которой f (г) Ф а, то, как уже было отмечено, г0 будет существенно особой точкой и для Следо-
вательно, существует последовательность точек г*, k = = 1, 2......сходящаяся к г0, такая, что
122
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
и, стало быть,
lim f(zk) = а. zk~*zo
Говорят, что г = оо является изолированной особой точкой аналитической функции /(г), если ? = 0 есть изолированная особая точка для функции <p(?) = /^j. Так
как лорановские разложения q>(?) и /(г), z = j. , в окрестностях точек ? = 0, 2 = оо связаны между собой равенством
00 СО
ф(?)= 2 a*?fe=/(z)= 2 a^k,
k——СО fe =—со
то изолированная особая точка г = оо классифицируется по характеру множества отличных от нуля коэффициентов
& =—1. —2, ..., лорановского разложения /(г) =
00
= 2 akZ~k- В зависимости от того, будет ли это мно-
fe = — СО
жество пусто, конечно или бесконечно, особая точка г = оо называется устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой.
Аналитическая на всей плоскости г функция /(г) называется целой. В зависимости от того, является ли бесконечно удаленная точка 2 = оо для целой функции /(г) устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой, целая функция /(г) будет постоянной, полиномом или целой трансцендентной функцией. Функция /(г), которая на расширенной комплексной плоскости имеет только полюсы, называется рациональной. Отноше-f (z)
ние ф(5 ДБУХ целых Функций f(г) и ф(г) называется
мероморфной функцией. Мероморфной является, например, , sin z ,
ФУНКЦИЯ COSZ“ ?г'
Пусть функция f(z) аналитична в области D всюду, кроме изолированной особой точки г0 е D, а у — кусочногладкая замкнутая кривая Жордана, которая вместе с областью Dy, границей которой она служит, лежит в D, причем z0eDY. В силу теоремы Коши значение интеграла
S 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 123
где интегрирование происходит вдоль v по направлению, оставляющему конечную область Dy слева, одно и то же для всех у; оно называется вычетом функции f(z) относительно особой точки г0.
Для вычета пользуются обозначением
J f(z)dz = Res / (г).
(75)
При вычислении вычета в качестве у, очевидно, можно брать окружность | г — г0-1 = б достаточно малого радиуса (рис. 12).
Подставляя в левую Рис. 12.
часть (75) лорановское
разложение (64) и пользуясь равенствами (74), получаем Res f (г) = а_!.
2=г,
Когда Zo — полюс порядка п, для нахождения а-г имеем очевидную формулу
