Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому в силу (110) имеем
= й I 7=7 +const j
— ОО
функция F$=G(z), очевидно, будет решением задачи (116), когда const = iC, где С — произвольная действительная постоянная.
Заметим, что формула (115) дает решение задачи (116) и в тех случаях, когда в конечном числе точек действительной оси функция f(t) имеет интегрируемые особенности.
s Б. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 141
Пользуясь этим замечанием, покажем, что формула Шварца (115) позволяет в квадратурах выписать решение следующей краевой задачи: определить аналитическую в верхней полуплоскости D+ функцию Ф(г), непрерывную вплоть до действительной оси всюду, кроме точек г — — а, г = а, в которых она может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка, имеющего нуль первого порядка на бесконечности и удовлетворяющую краевым условиям
ReO(<) = /(0> —a<t<.a, а> 0, (118)
1тФ(0 = 0, — oo<f< — a, a<t< оо, (119)
где f (t) — заданная на интервале —a<t<.a действительная функция, удовлетворяющая условию Гёльдера.
В самом деле, выбирая однозначную ветвь функции j/a2 — г*, действительную при — а<г<а, введем новую функцию
(г) = |/ а* — г2 Ф (г),
где Ф (г) —искомое решение задачи (118), (119).
Функция F(z) аналитична и ограничена в верхней полуплоскости D+ и удовлетворяет краевым условиям
10, —оо <СК — а, a<t<loo.
Решение этой задачи дается формулой (115)1
— СО
откуда находим
<¦*»
—а
За счет подбора постоянной С можно добиться того, чтобы функция Ф (г) была ограничена на одном из концов интервала (—а, а). Так, например, когда
142
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
формула (120) дает ограниченное при z-=a единственное решение задачи (118), (119):
щающаяся в i при г-*-оо.
§ 6. Функции нескольких переменных
Iе. Вводные понятия и обозначения. Упорядоченную систему г = (гь ..., z„) значений комплексных переменных z* = xk + iyk, 6=1, ..., п, будем называть точкой п-мер-ного комплексного векторного пространства Сп этих переменных. Пространство Сп можно интерпретировать как 2п-мерное евклидово пространство действительных переменных хг, ..., хп, уг, ..., уп.
Множество точек г е Сп, удовлетворяющих условиям
где г и — положительные числа, называется открытым полицилиндром С (г, г°) радиуса г = (г1; ..., гп) с центром в точке г°, а множество точек г е Сп, удовлетворяющих условиям
— замкнутым полицилиндром С (г, г°). Точки z е Сп, для
которых имеют место равенства |zk — z%| = rk, 6=1......п,
составляют остов полицилиндра С (г, z°).
Понятие полицилиндра позволяет ввести понятия окрестности заданной точки, внутренней, предельной и изолированной точек для множества Е точек пространства Сп, а также понятия открытого, замкнутого и ограниченного множества в Сп.
Пусть Е и Ег — множества из Сп и на плоскости комплексного переменного w соответственно. Когда указан закон, по которому каждому значению zg? поставлено в соответствие вполне определенное значение w е Elt говорят, что w является однозначной функцией перемен-
-t понимается ветвь этой функции, обра-
z* — zj?|<ги, k=l, п,
|Zft-z?|<zft, 6 = 1........п,
S •. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
143
ного z или функцией нескольких переменных гъ гп, и пишут
a» = /(z) = /(z1...z„).
Заданная на множестве Е функция f(z) называется непрерывной (или непрерывной по совокупности переменных Zi, .... z„) в предельной точке этого множества z° е Е, если для любого наперед заданного числа е>-0 можно указать систему положительных чисел 6 = (6i, б„)
такую, что для любых двух точек z' е Е П С (б, z°), z* ® е Е П С (б, z®) имеет место неравенство | f (г') — f (г") | < е.
Понятие равномерной непрерывности заданной на множестве Е функции f(z), а также понятия сходимости и равномерной сходимости последовательности функций /„(г), п=1, 2, ..., ге?, вводятся точно таким же образом, как и в случае функций одного комплексного переменного.
Конечная сумма
где а*, н —заданные комплексные числа с индексами
1 ' П
&ь ...kn, принимающими неотрицательные целые значения,
П
причем ^kj^m, носит название однородного полинома /=1
переменных гъ ..., гп степени т. Очевидно, что Рт(г) является непрерывной функцией для всех конечных значений z.
2°. Понятие аналитической функции нескольких переменных. Пусть w = f (z) = и {х, у) + iv (х, у), х = (хи ..., хп), у = (уъ ..., уп) — заданная в некоторой области D пространства Сп функция, действительная и мнимая части которой как функции действительных переменных xi, ...
¦ ¦ ¦, хп, У\...Уп непрерывны вместе с производными
первого порядка в области их задания.
Приращение Aw функции w = f(z), когда переменные zk принимают приращение Azh, 6=1..........п, запишем в виде
П
2 ЙД**+$;Д2*)+о(|Д*|), т * «• 1
144
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
где
д_ _ 1 (_д_ _ . _д_\ _д_ _ 1 /_д_ , . _а_
дгк ~ 2 1 дук)' dzk~ 2 \дхк'~ 1 diikJ’
Агк = Axk + i Аук, Azk = Axk - i Аук,
а о (| Аг |) — бесконечно малая величина высшего порядка
п
по сравнению с | Az \ = I A2* I-
fe — t
Если часть
П
2 (dlkAzk+dlkA2k) ¦
*=i
приращения (122) функции f(z) в каждой точке zeD является линейной формой лишь относительно Агк, k = = 1, ..., п, т. е. если в каждой точке геО имеют место равенства
