Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
°-1 = (^ГТ)1 [(г - ZoT f (г)]. (76)
Если функция f (г) непрерывна в D (J S и аналитична в D всюду, кроме изолированных особых точек г*еО, 6=1, ..., т, и граница S конечной области D является кусочно-гладкой замкнутой кривой Жордана, то в силу формулы (48) имеем
т м
2= \ /(*)<fe=2Res/(z). (77)
S *=1 |Z—zfc|=e *=! гж=г*
Формула (77) позволяет легко вычислить некоторые определенные интегралы.
Так, например, если известно, что f(z) непрерывна при ImzSsO и аналитична при lmz>0 всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек г*, 1шг*>
124
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
>0, 6=1, т, причем для достаточно больших \г
М
I f (z) I < | г .» ,
M = const > 0,
(78)
то, пользуясь формулой (77), когда область D — полукруг
| г | < R, Im г > 0, содержащий внутри себя все zk, 6=1, ..., т, получаем
(рис. 13)
R я
\ f(x)dx + ^f(Re*6)iRe?ed&
-R
R 12f
Рис. 13.
= 2ni 2 Res f(z). (79) fc=i 2=2fe
Но второй интеграл в левой части (79) в силу (78) в пределе при /?-»-оо дает нуль. Поэтому из (79) получаем, что
со R m
? f(x)dx= lim ^ f(x)dx — 2ni У] Res f(z).
-OO R^CO_%
7°. Формула Шварца. Решение задачи Дирихле. Пусть требуется определить аналитическую в круге | z | < 1 функцию f(z), если известно, что ее действительная часть и(х, у) непрерывна при |z|«^l и на окружности |?| = 1 изнутри принимает заданные непрерывные значения
и+(?) = Ф(?). ICI-1. (80)
На окружности | ? | = R, R < 1, имеем f(z) + f (г) =
= 2ы(?). Умножая обе части этого равенства на ^ ^_г),'
|*|</?, и интегрируя по окружности |?| = /?, в силу интегральной формулы Коши (47) получаем
(81)
.?1 = Я
Из тейлоровского разложения f(z) = 2 а*г* в круге
ft=0
s 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ КОШИ 125
имеем /(?)= 2 а&к== 2 й'к Поэтому второе слагаемо t = 0
мое в левой части (81) запишется в виде
Si S |«.R“ S M<«. (82)
IEI=« fe=o 1С| = я
Из формулы (74) имеем
й S &='• l2'<R- <83>
!С1 = «
Для вычисления интеграла в правой части (82) при k>0 воспользуемся формулой (77):
_ 1к (С—*) = R=eo С* (С-*) + ,RJf С* (С-*)* (84)
Вычеты в правой части (84) находим по формуле (76):
г. 1 1 1 • / I \ 1
^о?*(Е-г)“(А-1)!Й! Л-г)~ г*’
•tR“ = Й s* = г* •
Следовательно,
р^ЗГ-i + i-O. (86)
1С1 = Я
|z|</?, 6=1, 2, ...
В силу (83) и (85) формула (81) принимает вид
м-а S <*>
___ 1?1=«
где д0 = /(0) = и(0, 0) — to (0, 0), а из (86) в пределе при с учетом условия (80) находим
f(*) = i [ ^f-«(0, 0) + io(0, 0). (87)
iti-i
Когда г = 0, из (87) имеем
/(0) + Дб) = 2и(0, 0)= *. \
iti-i
126
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
т. е.
(88)
ICI-1
Подставляя значение и (0, 0) из (88) в (87), получаем формулу Шварца
которая восстанавливает с точностью до произвольного мнимого постоянного слагаемого аналитическую в круге | г <С 1 функцию f(z) по краевым значениям на окружности I ? | = 1 ее действительной части.
Ввиду того, что на окружности | ? | = 1
из формулы Шварца (89) получаем формулу Пуассона
дающую решение задачи Дирихле для гармонических функций в круге |z|<l (сравните с формулой (17) пункта 2° § 2 гл. I).
Пользуясь теоремой Римана, теоремой о соответствии границ и формулой (90), можно доказать существование решения задачи Дирихле в следующей общей постановке: в области D плоскости комплексного переменного ? = ? +• irj, ограниченной замкнутой кривой Жордана S, требуется найти гармоническую функцию и* (?) = и* (1, т]), непрерывную в D\JS и принимающую на S заданные непрерывные значения g (?).
В самом деле, искомая гармоническая функция и* (|, т]) должна быть действительной частью аналитической в области D функции F (?). Функция u(z) = u (х, у) = = Re F [f-1 (г)], где г = / (?) конформно отображает область D на круг | г \ <. 1 гармонична в этом круге и непрерывна в замкнутом круге | г | 1, причем на окружности | г | = 1
f(z) = — I + (89)
S+z _ 1 — | г |«+2t Im?z
It-* Iе
и (г) = и (х, у) = ~ J Ф (е-'9) d0, (90)
о
* 4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
127
она принимает непрерывные значения <р (г) = g [/_1 (г)]. Функцию и(х, y) = u(z) находим по формуле (90), и через нее искомая гармоническая функция получится в виде
и* (0 = “1/(01-
§ 4. Аналитическое продолжение
1°. Понятие аналитического продолжения. Пусть Dx и D2 — области плоскости комплексного переменного г, пересечение которых d = D1f|?)2 представляет собой область, и рассмотрим аналитическую в функцию fi(z). Если существует аналитическая в D2 функция /г(г),
совпадающая с /, (г) в d, то говорят, что /2 (г) является аналитическим продолжением ft(z) из области Dx в область D2 через общую часть d этих областей. В силу теоремы единственности аналитических функций очевидно, что при существовании аналитического продолжения оно единственно (рис. 14).
2°. Принцип непрерывиости. Предположим, что односвязные области Dj и D2 имеют общий участок границ, представляющий собой гладкую дугу Жордана у, причем пересечение Dx f| 02 пусто.
Под принципом непрерывности понимается утверждение: если функции ft(z) и /2(г) аполитичны
128
ГЛ. И. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
в областях Dx и D2 соответственно, непрерывны вплоть до у и, кроме того,
