Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
/.(fo) = j
при в —> 0, причем этот предел всегда существует, если f(t) удовлетворяет условию Гёльдера.
2°. Касательная производная потенциала простого слоя.
В главе I, § 4, 3° при изучении потенциалов простого слоя (59) мы пользовались представлением (62), в котором функция v (х) удовлетворяет условиям (60). Так как интегральные члены в правой части этого представления являются непрерывно дифференцируемыми функциями при переходе точки х из D+ в D- через точку x°eS, то иа основании формул (52) и (60) той же главы заключаем,
1Л1=ШЛ+П,^ -А
dt_
to
dt + 2nif(to)-f(to)
Vi
132
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
что касательная производная потенциала простого слоя существует и остается непрерывной при переходе течки х из D+ в D~.
Записывая потенциал простого слоя в виде
u№== — ii J l°g|f —z||i(f)<fe. z*=x+iy, покажем, что при z = (0eS
+ (94)
где s и So —дуговые абсциссы точек t и на S, t'0 = ~ !&'• ^ ~ & ^ = аг® ^ ~ ® пеРвом слагаемом
в правой части (94) интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, а во втором слагаемом —в обыч-
- ном смысле из-за непрерывности функции -т—О (t, t0) (см.
гл. I, § 4, И. *
Обозначим соответственно через tx и tt точки на S с дуговыми абсциссами So — е и So + e при достаточно
малом е>0, а через SB — часть S вне дуги txtd%. Очевидно, что равномерно относительно t0
lim ue (*0) = и (t0),
•-*Ю
где
= — 25Г J log|<-*o||*(0*. (95)
Дифференцируя обе части (95) по So, получаем
Так как \
1А(/а) log | U - t0\ — Ц (tx) log 1^-/0! =
= Ip. (tz) - w (h)] log I U — *o! - |A (*i) log jlZH » lim = 1
5 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ 133
и функция ц имеет непрерывную производную второго порядка, то
lim [ц (t2) log 112 —101 - (ti) log | ti —101] = 0.
8 —* 0
С другой стороны, на основании равенства \t-t0\ = (t-t0)e-io«’U заключаем, что при t е Ss
J-log
так что
~ i j 1ов I #—/о 11* (0 rfs*-
s e
Учитывая то обстоятельство, что функция /'ц. (t) удовлетворяет во всяком случае условию Гёльдера (92), в силу определения интеграла в смысле главного значения по Коши имеем
lim С ^0* = С
t-t О J t-to '
8 S
Следовательно, переходя к пределу в равенстве (96) при в-»-0, получаем
м*.
причем стремление к пределу происхоит равномерно относительно t0. Отсюда на основании известной теоремы анализа заключаем, что для касательной производной потенциала простого слоя имеет место интегральное представление (94).
3°. Предельные значения интеграла типа Коши. Будем предполагать, что в интеграле типа Коши
<97>
S
контур S является замкнутой кривой Жордана с непре-
134
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ — РИМАНА
рывной кривизной, а плотность /(/) однозначна и дважды непрерывно дифференцируема.
В этих предположениях (97) можно записать в виде
F(z) = u(z) + v(z), (98)
где
u& = i j/(0^-log|f-z|ds, i = t(s) (99)
— потенциал двойного слоя с плотностью f (t), а
v^=-iry^i-log^-zldsi~
--4u[l°g\t-z\nds (100)
s
— потенциал простого слоя с плотностью f's.
Как было показано в пунктах 2°, 3° § 4 главы 1 функция v (г) непрерывна на всей плоскости переменного г, а для предельных значений и (г) при z-*~t0^S соответственно из D+ и D~ имеют место равенства (см. формулы (54), (55) гл. I)
“+ (*•)!] f W ~klog 11 ” u I (101)
*r(W—5ipW^-loe !<-<•! *-?/(<«>• (102)
Кроме того, из (100) имеем
— шУ° z\t-to\f>ds =
“ —-i-Hm \ log\t — t0\f'sds=*
" в-»0 J
Й |] i 1о« 11-*• 11W db +
+ /(*.) log\tt — t0\-f (h) log | tx - U |}, где St — часть S, рассмотренная в предыдущем пункте-
I t. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТВГРАЛА ТИПА КОШИ 135
Ввиду того, что
log I t — to I =* -gj- log (< — in) — i -jfi- 6 (t, t0) =*
lim [f (ft) loglfa-tol-f (h) log I tx - u |] - 0,
8—*0
для v(t0) имеет выражение
”<«= ш j -s j ж*«- WM*-
¦ “¦SrJ-5-|0e I'-Mfio*- (103)
На основании (101), (102) и (103) заключаем, что существуют предельные значения F+ (t0) и F~ (t0) интеграла типа Коши (97) при z-*~t0sS соответственно u3D+uD~ и
F+ (to) = у / (/.) + i j f (O'^7 log [ t - to | ds +
+ -^fj-§f^og\t-te\f(t)ds, F~(to) = -if«o) + ±y (f)-? log \t — t0 I ds +
+ Ш^Ж1о&\t~t0\f(t)ds, откуда в силу очевидного равенства
имеем
iK(«.)-r/(«+-srj^5L- <104>
f-«.)— <105>
136
ГЛ. II. СИСТЕМА КОШИ - РИМАНА
Из равенств (104) и (105) непосредственно получаем равенства
F+(to)-F-(t0) = f(t0), (106)
F4to) + F-(t0) = ±j^, (107)
носящие название формул Сохоцкого — Племеля.
4°. Понятие кусочно-аналитической функции. Выводы пунктов 1°, 2°, 3° настоящего параграфа остаются в силе и при более общих предположениях относительно кривой S и заданных на ней функций f(t) и ц(^). В частности,
формулы (104), (105), (106) и (107) имеют место и тогда,
когда /(/) удовлетворяет условию Гёльдера, а 5 является кривой Ляпунова, т. е. угол 0 (/), составленный касательной к S в точке t с некоторым постоянным направлением (например, с направлением действительной оси плоскости комплексного переменного г), также удовлетворяет условию Гёльдера.
В силу представления (93) интеграла в смысле главного значения по Коши из формул (104) и (105), очевидно, следует, что F+ (?0) и F~ (tn) являются непрерывными функциями. Более того, если f (t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем h, 0<Л<1, то предельные значения F+ (t0) и F~ (t0) также удовлетворяют условию Гёльдера с показателем h. Ниже мы будем пользоваться этим утверждением, но на его доказательстве здесь останавливаться не будем.
