Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
одновременно) стремятся к бесконечности. Для формулировки этих правил,
вывод которых основан на идеях, обсуждавшихся в § 146, удобно немного
изменить введенное ранее определение субграфиков. Рассмотрим некоторый
набор {Qs} внешних импульсов qs, входящих в данную диаграмму; в
дальнейшем положим Qs-yoo. Тогда, выбрав каким-либо способом внутренние
импульсы {1Г}, мы определим субграфик, отвечаю-электроюпмитронного щИй
данным внутренним линиям {Lr} и
я внешним импульсам {Qs}, как набор всех
линий, содержащих по крайней мере один импульс из наборов LT и Qs, при
условии, конечно, что получающаяся при этом диаграмма является связанной.
Рассмотрим, например, диаграмму шестого порядка для электрон-позитрон-
ного рассеяния (рис. 19.52). Пусть нас интересует асимптотическое
поведение амплитуды при qи q3->oo. Этому случаю отвечают субграфики,
изображенные на рис. 19.53.
Каждому субграфику, определенному указанным .выше способом, мы припишем
"асимптотический коэффициент" а, который является аналогом введенной в §
146 степени расходимости D. Коэффициент а получается подсчетом степеней
импульсов для всех линий, входящих в субграфик. При этом каждая фотонная
и фермионная линии вносят вклад -2 и -1 соответственно, а каждое
интегрирование в субграфике вносит вклад +4:
a(g) = 4k-f~ 2 b,
Рис. 19.52. Диаграмма шестого порядка для
§ 1501
ПОВЕДЕНИЕ ФЕЙНМАНОВСКИХ АМПЛИТУД
379
где Ь - число фотонных линий в субграфике g, f - число фермионных линий в
субграфике g, k - число интегралов по внутренним линиям в субграфике g.
Например, если считать диаграмму
сс~-3
')
ч
г\S\SVK/\S\Sb 5
ос=-г
8)
3)
8)
ж)
Рис. 19.53. Субграфики диаграммы рис. 19.52 и их асимптотические
коэффициенты.
на рис. 19.52 компактной (т. е. исключить из рассмотрения внешние концы),
то асимптотические коэффициенты субграфиков, изображенных на рис. 19.53,
равны -1, -3, -5, -2, -6, -8 и -5 соответственно.
380
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ, 19
Теорема Вайнберга утверждает, что если:
1) внешние импульсы qs и внутренние импульсы 1Г продолжены в область с
евклидовой метрикой (см. § 145) и
2) импульсы {Q4 некоторых из внешних линий стремятся к бесконечности:
Qs->xQs.
то при %-±оо амплитуда SW(xQi ... %Qj, qm ... qm) асимптотически ведет
себя как
ЭЯ~х"(1п%)р,
где
а = max a (g),
субграфики g
и a(g)-асимптотический коэффициент субграфика g. Коэффициент р теоремой
Вайнберга не определяется.
В рассмотренном выше примере (рис. 19.52) амплитуда ведет себя как
2К~у(1пхА
причем этот результат возникает из области интегрирования, в которой малы
импульсы всех внешних линий, за исключением внутренней электронной линии,
изображенной жирной линией в субграфике a) на рис. 19.53.
Идея доказательства сформулированных утверждений аналогична той, которая
использовалась при доказательстве теоремы о сходимости фейнмановских
интегралов. Каждый субграфик, отвечающий данному асимптотическому режиму,
содержит интегрирование по импульсам {Lr}, которые велики при %->оо;
остальные внутренние импульсы 1Г в интеграле малы. Внутреннее
интегрирование обрезается большими импульсами %QS, содержащимися в
субграфике; при этом величина вклада определяется размерными
соображениями, т. е. путем подсчета числа импульсов в диаграмме. Каждая
линия в субграфике в том случае, когда она находится в асимптотическом
режиме, может давать вклад либо -1, либо -2. Асимптотическое поведение
амплитуды затем получается перебором всех возможных субграфиков
(отвечающих, как и в § 146, "трубам" в 4^-мерном пространстве) и
выделением доминирующего вклада.
Последующая перенормировка не изменяет выводов теоремы: асимптотическое
поведение определяется по сформулированным правилам *) и в том случае,
когда диаграмма содержит перенормированные вершинные и собственно-
энергетические вставки (необходимые, чтобы придать смысл интегралу в
целом!!) . В ча-
') Это можно доказать по индукции.
S 150]
ПОВЕДЕНИЕ ФЕЙНМАНОВСКИХ АМПЛИТУД
381
стности, согласно теоремеВайнберга, асимптотическое поведение вершинной и
собственно-энергетической частей в любом порядке по е совпадает с
точностью до логарифмических множителей с поведением их затравочных
выражений
Аналогичный вид имеют асимптотические формулы и в том случае, когда
другие комбинации импульсов р, р' и q стремятся к
оо. Мы могли бы заранее угадать это поведение 2, П и Гц, исходя из
требования перенормируемости; действительно, при другом асимптотическом
законе степень расходимости диаграммы увеличивалась бы при добавлении все
нового и нового числа вершинных и собственно-энергетических вставок.
Асимптотическое поведение, предсказываемое теоремой Вайнберга,
согласуется с результатами, полученными во втором порядке в § 148.
Значение этой теоремы ограничено, однако, двумя обстоятельствами. Первое
из них заключается в том, что теорема Вайнберга ничего не предсказывает
об асимптотическом поведении точных функций, просуммированных во всех
порядках по заряду. Например, рассмотрим гипотетическое разложение для
