Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 120

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 138 >> Следующая

концов и здесь получается конечный результат.
360 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
Начнем с более легкой задачи и обсудим вклад собственноэнергетических
вставок (рис. 19.48,s и г). Имеем
ГС (?) = 21 J -|?- Sp y^Sf' (р) yvSp (р + q). (19.89)
При вычислении этого интеграла удобно использовать спектральное
представление для бSP (р), которое было получено в гл. 16 и 18. Напомним
спектральное представление (16.122) для перенормированного пропагатора:
ОО
S;(p)==^_ + J- \ (19.90)
к6 - т я J р2 - ог + ie '
("+Я)!
После перенормировки имеем
оо
$'(,,) = _• +JL ( (19.91)
vr/ р - tn 1 я J р2 - а2 + ге 4 7
(m-W
где р = Z%xp. Спектральные функции порядка е2 могут быть непосредственно
получены из результатов1) гл. 8 (см., в частности, уравнение (8.34)):
с'<2) (п) - 1 4- 1 Г_ уа (Р - к-\- т)уа _
р - т т р - т L J (2л)4 (fe2 - Я2) [(р - fe)2 - m2]
-d/n + L^-m)]^^-- (19.92)
Выражение (19.92) включает массовый контрчлен, поскольку голый пропагатор
[р- т]~х содержит физическую массу2). Константа перенормировки волновой
функции L(2> в (19.92) возникает при перенормировке Sp<2). Вычисление
интеграла по импульсам (19.92) было выполнено в (8.38); в результате для
поправки второго порядка получаем
бS'p2\p) = ~-т- Г-^- J dz уд [р (1 - г) + т] у" X L о
X 1п т*г + я2 (1 - J) - p2z (1 - z) - ie ~ 6m + (P ~ m) ^<2)] p _ m •
(19.93)
') Выражения (19.90) и (19.91) содержат массу фотона Я, которая введена
для того, чтобы отделить непрерывный спектр в Sp от одночастичного
полюсного вклада. Подобный прием уже использовался в гл. 8 при обсуждении
инфракрасной расходимости.
2) См. сноску на стр. 294.
§ 148] . ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ 361
В приближении е2 спектральные функции р[ и р2 получаются взятием
абсорптивной части в (19.93):
1
- \Ph (Р2) + р2 (Р2)] = J dz уц [р (1 - 2) + т\ у*1 X
О
XnQ[p2z(l-z) - m2z - k2(l - г)] -Д* , (19.94)
где 0 - знаковая функция
( 1, z > О, е(г) = { О, г<0.
Подставляя вычисленные спектральные амплитуды (19.94) в (19.91) и
(19.89), получим вклад собственно-энергетической поправки в тензор
вакуумной поляризации; этот вклад обозначим II^v':
S х
(m+A.)"
ч/ с Г Уц [ppi (O'2) + Р2 (O'2)] Vv (Р + q + т) 1 "ЛПГЧ
XSP[ J- (19-95>
Интересующий нас коэффициент П(2а)(?2) при q^q^ в может быть выделен с
помощью обычной процедуры введения фейнмановских параметров и последующей
замены переменных в интеграле по импульсам:
00
nM"--fSw S <faW)X
(m+Я)*
1
x\dzz(l-z) г /2 2--------------------------- (19.96)
j \.р +q Z(\- z) - m2z - а2 (1 - z)r
Интеграл по d*p' в (19.96) логарифмически расходится, что является
напоминанием о равной нулю степени расходимости в диаграмме вакуумной
поляризации. Перенормированное значение n(iv(<72) содержит, однако,
разность Пс(<72) = П(q2)- П(0), которая представляется уже сходящимся
интегралом:
1
п"'> W') - -$¦ ) <*0" (5, (<т!) \ dz г (1 - г) X
х Ч +S5,tt>->?(¦-¦>]• (19-97>
362
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
В сходимости этого интеграла легко убедиться, если заметить что при а2-
>оо логарифм ведет себя как 1/а2 и что при этом, согласно (19.94), pi
(о2) также порядка 1/а2. Спектральный интеграл в пределе -q2 т2 может
быть выражен через элементарные функции, в результате получим
п?*' М = - TS? (- ?) + в?1(- ?) (т) - ж] ¦+
+ члены порядка единицы при 1. (19.98)
Таким образом, мы убедились в том, что собственно-энергетическая вставка
дает конечный вклад в Ylc{q2)- Это обстоятельство не удивительно,
поскольку в рассмотренном случае не возникает проблемы перекрывающихся
расходимостей. Результат (19.98) можно было бы получить и другим
способом: выполнить вначале перенормировку собственной энергии и
результат подставить затем в интеграл для вакуумной поляризации.
Ситуация не столь проста для последних двух членов в
(19.88), возникающих из вершинных вставок. Перекрывающиеся расходимости
во втором члене
П?? to) ^1 S Sp Vv (P) A(r) (P, p+q)SF(p+ q) (19.99)
сокращаются с расходимостями, возникающими от двух вершинных внутренних
интегрирований в
2П<2в> (q) ^2i J -gr Sp y^Sp (p) yvSF (p + q) L<2>. (19.100)
Выполнив еще общую перенормировку, т. е. сделав вычитание при q2 = 0, мы
ожидаем, что величина П*,2б) (q2) - 2П<,2в) (q2) определяется уже
сходящимся интегралом. Рассмотрим подробнее, как происходит указанное
сокращение.
Согласно фейнмановским правилам для П^> получаем
Г У"(Р + т) уа(Р + k + m)yv(P + k+ 4 + т) уа (р + q + т) "1 ^ ^ L (р2 -
т2) [(р + k)2 - /и2] [(р + k + q)2 - т2\ (р -f q)2 - т2 J '
(19.101)
где кинематика указана на рис. 19.47, в. Выделим вначале коэффициент
П(2б)(<72) при тензоре q^qy, тем самым устранив кажущуюся квадратичную
расходимость в (19.101). Скомбинировав
§ 148]
ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ
363
четыре знаменателя, возникающих от петель с заряженными частицами,
получим
где at - электронные знаменатели, указанные на рис. 19.47,6. Интеграл по
dAp вычисляется с помощью замены переменных*)
р' = р + k (z2 + z3) + q iz-i + z^,
которая дополняет знаменатель до полного квадрата; при этом в знаменателе
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed