Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
дополнительную информацию о поведении функции d. Эта информация
заключается в следующем: предположим, что в пределе - Х2^>т2, - Х2~^>т2 и
-q2 tn2 зависимостью функции d от массы tn можно пренебречь. Ниже мы
постараемся обосновать это предположение, а сейчас посмотрим, какие
следствия могут быть из него получены.
Первое следствие основывается исключительно на анализе размерностей. Если
постулировать отсутствие зависимости пропагатора от массы, то d является
функцией только двух переменных, q2/X2 и е2. Однако функциональное
уравнение (19.150) накладывает ограничение на возможный вид зависимости d
от q2/X2 и е2 и, следовательно, на поведение асимптотических членов в
разложении функции d по степеням е2.
Согласно сделанному предположению при - q2, --Х\'^>т2
d(q2,X2,e2)^d(^,e2^. (19.151)
Поэтому уравнение (19.150) можно переписать в виде (полагаем Я.2 = X)
"({р е0) (19-'52>
с граничным условием
d (1, е2) = е2, (19.153)
справедливым при всех е\. Замечательно, что решение уравнений (19.152) и
(19.153) можно сразу выписать. Для этого про-
§ 151] РЕНОРМАЛИЗАНИОННАЯ ГРУППА gg5
дифференцируем (19.152) no q2 и положим q2 = X2, тогда получим
'hd{j2' е0)' (19Л54>
где в силу (19.153)
Ф(е2) = -^с1(х, е2)\ . (19.155)
Х=*1
Уравнение (19.154) при фиксированных е\ и Ц можно проинтегрировать
- ("2А?' -?)
,2 2 Л1 е1
d[d (л2/*2 е2)]
Ф (rf (А*/Х?. *?))'
откуда
1п - У
j- S e0)-f(eD' (19Лб6)
Разрешив это уравнение относительно d, получаем общее решение
функционального уравнения (19.152)
d{% e0=Mf(e')+ln(*r)]' (19Л57)
Если Е-1 существует, то отсюда следует, что функция d, зависящая при
больших импульсах от двух переменных, именно от <72Д2 и е2, в
действительности является функцией только от одной переменной,
представляющей некоторую комбинацию этих двух переменных. Это
обстоятельство не удивительно, поскольку при -q2 т.2 зависимости от
импульса и заряда связаны между собой.
Используя вычисленные ранее первые несколько членов в разложении функции
d по степеням е2, мы можем теперь применить метод ренормализационной
группы для вычисления членов высшего порядка. Процедура заключается в
следующем.
1. Подставим затравочное значение е2) и найдем Ф(е2) из (19.155).
2. Проинтегрируем (19.156) и вычислим исправленное значение d(x, ef) по
формуле (19.157).
Чтобы проиллюстрировать метод, предположим, что вся информация о функции
d заключается лишь в том, что эту функцию можно разложить в степенной ряд
по ё\\
d (х, е2) = ё\ + е\ I (х) + О (еЧ). (19.158)
386
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
Тогда, используя (19.155), получаем
Ф(е*) = е*Г 0) + О(е°).
Подставляя в (19.156), находим
С du
и
Таким образом, не вычисляя никаких фейнмановских интегралов, мы
установили, что вакуумная поляризация во втором порядке асимптотически
ведет себя как 1п(<72Д2) и что в четвертом порядке она растет также не
быстрее 1п(<72Д2). Тем самым без всяких вычислений мы показали, что член
ln2(<72/m2), возникающий в четвертом порядке, в конце концов должен
сократиться. В § 148 мы убедились в этом непосредственно с помощью весьма
громоздких вычислений (см. (19.121)).
Аналогичным образом можно начать с выражения для пропагатора d с учетом
всех вычисленных членов четвертого порядка
Тогда, вычислив Ф из (19.155) и d из (19.156), получим d(x, е2) =
d(x, ef) =
(19.160)
1536я6
In2 х + О (е(r) In х)
5 1511
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА
387
Таким образом, мы видим, что уравнения ренормализационной группы
позволяют найти главный асимптотический член функции d в шестом порядке;
при этом мы определяем не только функциональную зависимость этого члена,
но численный коэффициент ').
Другим замечательным свойством уравнения (19.157) является то
обстоятельство, что
eTj -> F~l (оо) при -q2-*oo. (19.162)
Это соотношение показывает, что при больших импульсах пропагатор
стремится к пределу, не зависящему как от точки перенормировки Хь так и
от заряда е\. Однако из спектрального представления для фотонного
пропагатора следует, что при больших импульсах функция d имеет смысл
голого заряда е2а. Согласно (16.172), полный неперенормированный
пропагатор удовлетворяет спектральному представлению
[z3 , f ймг п (м2) 1 .
Y + J <?г - AT2 + градиентные члены,
(19.163)
где П(М2)^0. Более того, если спектральный интеграл существует, то
справедливо правило сумм
оо
1 = z3 -1- J dM2 п (М2) при <72-*оо.
о
Поэтому точный пропагатор при больших импульсах должен совпадать, с
точностью до градиентных членов, с неперенормиро-ванным пропагатором, т.
е.
^-+ градиентные члены при' q2-+ оо. (19.164)
Сравнивая (19.162) и (19.164) и вспоминая, что произведение e\D'F{q)^
инвариантно при перенормировке, получаем
el = F~l (оо). (19.165)
В этом пункте мы сталкиваемся со следующей дилеммой. Использовавшиеся в
этом параграфе аргументы основывались на возможности перенормировки рядов
теории возмущений, которая,
') Аналогичный подход применим и для исследования рядов теории возмущений
для вершинных функций и фермионных пропагаторов как в ультрафиолетовой,
