Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
373
энергию. Как обычно, электронные концы включены в определение т-функции,
а фотонные концы исключены (рис. 19.50). Имеем
Графическую связь с комптоновской амплитудой легче всего проследить,
рассматривая тождество, следующее из (19.48):
Подставляя это тождество в (19.127) и учитывая (19.123) и равенство
т(с) (рГ = + Us'f (р)] [(- ie0) Г11 (р, р) iSp (Р) (- /во) rv (р, р) +
+ (- ieо) Г (р, р) iSp (р) (- ieо) Г (р, р) - ie20 Us'f (р)1
(19.128)
Три члена в (19.128) представляют сумму всех диаграмм, полученных
добавлением к электронной линии с зарядом е0 и импульсом рц двух фотонов
с нулевой частотой. Пропагаторы вдоль электронной линии имеют вид (р + Pi
- m)-1, где ki изменяется при каждом взаимодействии с фотоном внутри
блока собственной энергии. Поскольку
мы заключаем, что дифференцирование пропагаторов каждый раз отвечает
добавлению фотона с нулевой частотой. Вставки же фотонов в замкнутые
электронные петли дают нуль1) в силу причин, уже обсуждавшихся в § 146.
Действительно, градиентноинвариантная амплитуда для замкнутой петли
пропорциональна 8V - Рубц и равна нулю при = 0. В результате приходим к
выводу, что выражение (19.127) содержит все фейнмановские графики при
нулевой энергии. Поэтому можно вычислить S-матричный элемент, выделив в
этом выражении внешние электронные концы и умножив его на волновые
функции фотонов и
') То есть в рассматриваемом пределе \ d4p J* F (р, kb ..kn) - 0,
с J
где г - вклад замкнутой петли.
(19.127)
д
S'F (р) = Sf (р) [-^ & ' (р)] S'P (р),
получим
дрц р + ki - m
374
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
электронов в начальном и конечном состояниях (см., например, (17.43)). В
результате получаем
S (р', k', е'; р, k, е);
(2я)6 -y/4kk'
3№ч(р', k'l р, k), (19.130)
где кинематика указана на рис. 19.51, а амплитуда 9)tav в пределе k, k'-
>0 равна
3Tv(p, 0; р, 0) =
=w чт(р) {р+ * -т) ХХХ(р+1 -т)и {р)=
" d2Sp(p + k) .
: - ie2 lim й (р) к -qt-ji- ku (p). k->0 °pM. aPv
(19.131)
В последнем выражении мы учли правила перенормировки (19.49). Для
дифференциального сечения рассеяния фотона с данной поляризацией получаем
do =
2k
'sto^I2 d3k' тй3р' (2я)4 б4 (р + k - р' - к')
или
da
1
dQ
16я2 1 v
2k' Е'
е,,е(,Жа%' I2
(2л)6
при k, k'->0.
(19.132)
Очевидно, что сечение da/dQ при нулевой энергии конечно, если конечна
амплитуда 2>PIV. Поэтому в (19.131) необходимо вычислить d2Sp (р +
к,)/дрц dpv с точностью до членов порядка кг2.
Рассмотрим общее выражение для перенормированного пропагатора
S'F (р') = (р'2) + тВ (р'2)
р'2 - т2
А (т2) - В (т2) = 1. (19.133)
Вычисление производных упрощается, если выбрать поперечную калиб-Рис.
19.51. Кинематика для ровку в системе покоя электрона, комптоновского
рассеяния. Тогда
ер = 0, е'р = 0, (19.134)
и члены, пропорциональные рц и pv, можно опустить. Выполнив
дифференцирование, получим
д% (p + k)
дрц др
+ paOv + pvOa + papv/. (19.135)
S 149]
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ теорема
375
Величина в этом выражении представляет сумму многих членов, не
превосходящих 0(l/k2), но не существенных для нас в силу выбора
калибровки (19.134). Величина I возникает от второй производной
знаменателя
(,р + kf - т2 = 2 pk
и имеет порядок 0(l/k3). Отсюда, в частности, видно, насколько существен
для получения правильных результатов в электродинамике точный закон
сохранения электромагнитного тока. Здесь мы сразу избавились от
сингулярного поведения в знаменателе, выбрав удобную калибровку (19.134).
Результат, разумеется, останется тем же и в любой другой калибровке.
При оценке порядка величины различных членов в (19.135) предположим, что
производные функций А и В существуют в точке р2 = т2, что можно показать,
используя спектральное разложение (16.112) для S'f (р) (при этом следует
приписать фотону массу Я, с тем чтобы отделить вклад разреза (т + ^)2 ^
=g; р2 =g: оо от полюса р2 = т2). Радиус сходимости в разложении А (р) и
В (р) по степеням р2 в окрестности точки р2 = т2 имеет порядок 2тХ.
Вопрос предельного перехода Я->-0 мы обсудим в конце этого параграфа.
Подставляя (19.135) в (19.131) и учитывая (19.134), получим
в"в"а>Г (р, 0; р, 0) = 2ie2e . е' lim Ир) Ир + rn) ku (р) = v ^ н' ft_>0
4 (pk)2 т
(19.136)
что представляет собой в точности комптоновскую амплитуду, зависящую от
физического заряда е и массы т. Для дифференциального сечения из (19.132)
получаем
ж=-&(е-е'>2 при k~>0- (19Л37>
Таким образом, константа тонкой структуры а = 1/137, которая входит в
перенормированное разложение 5-матрицы, может быть экспериментально
определена как томпсоновский предел комптоновского рассеяния при нулевой
частоте. Обобщение этой теоремы, позволяющее вычислить члены в линейные
по k, через статические характеристики фермиона, а именно, через его
заряд и магнитный момент, было дано Лоу, Гелл-Маном и Гольдбергером')•
Например, для нейтральной частицы с
') См. [122, 123]. Для обсуждения близких вопросов см. также статью
[124], где впервые выведена низкоэнергетическая теорема для реакций
