Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
инфракрасной расходимости, и положили Л->оо, поскольку это выражение не
зависит от Л. Мы также симмет-ризовали член с вычитанием в
относительно замены
z\, Z4*-*Z2, Z3. Эта замена отвечает тому, что вершинная вставка
вычисляется по одному разу в каждой из двух вершин в диаграмме вакуумной
поляризации. Выражение (19.119) свободно от перекрывающихся
расходимостей; при Z2, 23 -> 0 и z\ -f- z4 -*• 1 расходимости в первых
двух членах сокращаются, поскольку
8 в
S dZ2 S dZ ''{^T^A2^ln + 0 fc* гз) -
о о
tn^ "1
- ZiZi In m2 _ + О (z2, z3)J ~ e при e -> 0,
а третий член конечен. Точно так же при 21,24 ->-0, 22 + г3->1
сокращаются расходимости в первом и третьем членах, а второй член
конечен. Таким образом, вычитательные члены обеспечивают желаемое
сокращение расходящихся частей вершинных
вставок внутри функции Пс2б1). Сделав затем полное вычитание при q2 = 0,
мы получим для вакуумной поляризации конечный ответ. На приведенном выше
примере можно убедиться в том, что метод перенормировок неизбежно
приводит к успеху, однако требует при этом весьма громоздкой
вычислительной работы.
370
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
1ГЛ. 19
Для фактического вычисления (19.119) введем удобные переменные
Zi + Zi - Z, Zi = ZU, Z2=(l -z)v, 0 f^.z, U, V
тогда в пределе - q2~> m2 получим Пс2бз) (q2) - ПсВг) (q2) =
+ + (19.120)
Сложив вместе выражения (19.98), (19.109), (19.111), (19.117) и (19.120),
мы получим полную вакуумную поляризацию четвертого порядка; в пределе -q2
" т2 она равна
п<2) ^2)= - W1п (т) + 0 W- (19Л21>
В (19.121) сократился член с ln2(-q2lm2), равно как сократились
инфракрасные члены в собственно-энергетических вставках в П<2а) и в
вершинных вставках в П(2б) и П<2в). Подставляя в фотонный пропагатор
(19.51 е) вакуумную поляризацию второго порядка (см. (8.29)) и только что
полученный результат (19.121), приходим к следующему выражению
(справедливому с точностью до е4):
IB\IV Г 1 1
- <72"т2, (19.122)
где мы опустили градиентные члены. Этот результат был впервые получен
Постом и Латтинджером [120] в 1950 г. Оба поправочных члена имеют знак
минус и поэтому увеличивают взаимодействие между частицами на малых
расстояниях. К аналогичному выводу, справедливому, однако, уже во всех
порядках по а, можно прийти, рассмотрев спектральное представление для
Dp(q2) из гл. 16. Этот вывод следует из положительной определенности
весовой функции в выражениях (16.172) и (16.173).
§ 149. Низкоэнергетическая теорема для комптоновского рассеяния
Тождество Уорда и теория перенормировок позволяют сформулировать теорему
о низкоэнергетическом поведении амплитуды комптоновского рассеяния,
которая оказывается справедливой во всех порядках по е2. Как впервые было
показано Ти-. рингом [121] в 1950 г., амплитуда рассеяния фотона на
электроне
Df (д )hv
§ 149]
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
371
в пределе малых частот стремится к классическому комптонов-скому пределу
и равна а/т, где а= 1/137 и т - перенормированные значения заряда и массы
электрона'. Во втором порядке возмущений этот результат был получен в гл.
7 (см. формулу (7-74)).
Доказательство сформулированной выше теоремы основывается на том факте,
что, согласно тождеству Уорда, полная вершинная функция Гр.(р, р) при
нулевой передаче импульса может быть получена дифференцированием точного
фотонного пропагатора Sf (р)
Г"{Р, P) = j^s7\p). (19.123)
Другими словами, добавление к заряженной линии фотона с нулевой частотой
приводит к дифференцированию по импульсу этой линии, что легко понять,
используя одну только градиентную инвариантность, т-функция для
свободного заряженного электрона равна
т(р) = /5р(р). (19.124)
Чтобы получить т-функцию заряженной частицы (с затравочным зарядом е0) в
постоянном электромагнитном поле, достаточно сделать в (19.124)
градиентно-инвариантную подстановку
Рц~* P\i - е(Иц-При этом т (р) заменяется на т (р) -> т (р - е0А) =
= т(р)-е,Л"^гт(р) + ie^^-ii-TT(p)+ ... (19.115)
Коэффициент при в этом выражении
- еофг т (Р) = ieoSF (Р) [фг 5Г' (Р)] sf (Р) =
= iS'F(p)e0ViJp, р) S'F (р) (19.126)
представляет, с точностью до множителя е0, некомпактную вершинную часть
при нулевом переданном импульсе, которая содержит электронную собственно-
энергетическую вставку, но не содержит фотонных концов (рис. 19.49).
Коэффициент1) при 1/2AjlAv равен т-функции, описывающей комптоновское
рассеяние. Этот член содержит взаимодействие второго порядка, причем оба
фотона как до, так и после рассеяния имеют нулевую
') Множитель */* учитывает тот факт, что А^АУ содержит два двухфотонных
состояния: А^Ау ->
372
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
к iSf(p) -- v " - < \ -У '
ч ^ -ie0r?(P,P)
Рис 19.49. Вставка фотона с нулевой частотой с помощью дифференцирования
пропагатора - иллюстрация тождества Уорда.
IS/(P)
Н-------
iSp(p)
~ЩЦ(Р,Р)
iS/(p)
-ieorM.(P,P)
¦ г &
-=т
0 др^др"1
¦т
i$/(P)
h
Рис. 19.50. Вторые производные, приводящие к комптоновской амплитуде в
пределе нулевой энергии.
5 1491
