Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
фотообразования мезоиов, и [125, 126].
376
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
магнитным моментом ц (нейтрона) дифференциальное сечение с точностью до
членов порядка k2 равно
В случае заряженных частиц интерференция между томпсоновским и релеевским
рассеянием не выражается только через статические свойства частиц и имеет
порядок k2. Поэтому ее нельзя отделить от вклада магнитного момента,
который сам имеет порядок1) k2. Полный анализ й2-членов, таким образом,
требует изучения динамических деталей взаимодействия и может быть
выполнен, например, с помощью соотношений Крамерса - Кронига.
Нам остается еще отделаться от инфракрасной проблемы, встретившейся в
проведенном выше анализе. При доказательстве равенства (19.136)
необходимо было предположить гладкое поведение (р'* - т2) S'F (р') в
(19.133). Это предположение справедливо, однако, лишь в области р' -
т2^<.2т%, где Я- фиктивная масса фотона, откуда получаем ограничение на
энергию фотона
(р + k)'2 - т2 = 2mko + Я2 ^ 2тЯ или k0 < Я.
Однако если фотон имеет массу Я > 0, предел (19.132) никогда не
достигается, поскольку наблюдаемое физическое сечение обязано обращаться
в нуль для k0 < Я. Чтобы придать выражению
(19.137) какой-либо смысл, следует расширить область его применимости и
считать, что оно выполняется при т k, k' Я.
Основанием для такого обобщения служат эвристические аргументы,
основанные на анализе инфракрасной проблемы в модели Блоха - Нордсика (§
123). Аналогичные результаты в приближении е2 были получены в гл. 7, 8.
Согласно (17.89) и (17.95) амплитуда упругого комптоновского рассеяния
при Я -> 0 имеет вид
da
1Ш
4&2p2(l + у sin2 9^ при k-+0.
е
где
Р' = - р' = - (k - к') = скорость электрона отдачи,
0 = 0, <7о = VI <7 I2 +
') Для неполяризованной мншени.
НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
377
и стремится, таким образом, к нулю. Выражение (19.138) получается при
классическом рассмотрении тока электронов умножением томпсоновской
амплитуды на вероятность того, что при рассеянии не испускается ни одного
дополнительного фотона. Эта вероятность равна (0out|0in) и дается
формулой (17.89). При этом мы приходим к результату, согласующемуся с
выражением (8.62) для вершинной поправки и с вычислением радиационных
поправок второго порядка к комптоновской амплитуде, выполненными Броуном
и Фейнманом [127].
При рассеянии вперед р' = 0 и экспонента равна единице, в результате
выражение (19.138) не содержит инфракрасной особенности. Однако для
любого |р'| ф 0 и любого k инфракрасная особенность в экспоненте приводит
к тому, что при А->0.
При этом нарушается низкоэнергетическая теорема (19.137), которая была
доказана в предположении, k0/X -*• 0 при k0 -> 0, в то время как здесь мы
имеем обратную ситуацию: X/k0 -> 0.
Из опыта работы с инфракрасными расходимостями мы знаем, однако, что
обращение в нуль упругой амплитуды компенсируется неупругой амплитудой
испускания произвольного числа мягких фотонов с q < Ak. Если учесть это
обстоятельство, экспонента (17.89) заменяется на (17.95), а для
дифференциального сечения вместо (19.138) получаем
г т -1
^(e.eOexpl-^г \ \ dQq ? (г • p')2J "
L ~Ak г J
§f>''ln(-S-)]. 09.139)
где (5' = (2&/m)sin2(0/2). Нижний предел обрезания равен
разрешению по энергии в детекторе, т. е. той максимальной энергии,
уносимой мягкими фотонами, которую еще нельзя детектировать измерительным
прибором. Верхний предел в интеграле по dq равен1) 1/Аt ~ т, где At-
интервал времени, в течение которого скорость электрона возрастает от
нуля до 0'. Отметим, что обрезание на верхнем пределе необходимо здесь
только потому, что для простоты использовалась классическая модель
электронного тока.
Согласно (19.139) для любой энергии фотона k0 можно в принципе проводить
измерения со столь малым разрешением Afe, что результаты измерения
дифференциального сечения будут значительно отличаться от томпсоновского
предела за счет радиационных поправок. Однако если относительное
энергети-
') Напомним, что комптоновская амплитуда содержит промежуточные состояния
с отрицательной энергией, которым в нерелятивистском пределе отвечают
энергетические знаменатели ~2т.
13 Дж. Д. Бьёркен, С. Д. Дрелл, т. 2
Г-'I
WQ )Г
Я78
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
ческое разрешение kk/k фиксировано, то (19.139) при k-+0 действительно
приближается к томпсоновскому пределу. В рассматриваемом случае, как
впрочем и для большинства электродинамических процессов, прежде чем
придавать определенный смысл каким-либо количественным предсказаниям
эксперимента, необходимо тщательно проверить все экспериментальные
условия.
§ 150. Асимптотическое поведение
фейнмановских амплитуд
Теорема Вайнберга, [119], обсуждавшаяся в связи с вопросом о сходимости
фейнмановских интегралов, содержит гораздо больше результатов, чем мы до
сих пор использовали. В действительности эта теорема дает простые правила
для вычисления асимптотического поведения любой фейнмановской амплитуды в
случае, когда некоторые из внешних импульсов (или все импульсы
