Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вычислить Sf (р, X) из Гц; при этом мы заключаем, что Sf также не зависит
от т. Наконец можно использовать приведенные выше аргументы для
рассмотрения фотонного пропагатора. В этом случае, согласно (19.140),
следует выделить субграфики с асимптотическим коэффициентом -(-2. Такими
графиками являются только сами эти графики, что можно показать, используя
аргументы, аналогичные тем, которые использовались при рассмотрении
вершинной функции. Таким образом, гипотеза индукции доказана.
Используя приведенные выше рассуждения, мы можем оправдать применение
методов ренормализационной группы для улучшения асимптотических
результатов теории возмущений. При этом молчаливо подразумевается, что,
перебрав член за членом в ряду теории возмущений и вычислив
асимптотическое поведение каждого из этих членов, мы получим
асимптотическое поведение всей амплитуды в целом. Конечно, не следует
забывать о возможности того, что опущенные как относительно малые при
больших импульсах члены, при суммировании рядов теории возмущений
окажутся доминирующими. Поэтому выводы, основанные на методе
ренормализационной группы и относящиеся к величинам, просуммированным во
всех порядках по е, могут оказаться ненадежными и к ним следует
относиться с осторожностью.
Впрочем, так обстоит дело со всеми результатами, полученными из локальных
релятивистских теорий поля.
ЗАДАЧИ
1. Доказать обобщенное тождество Уорда (19.16), рассмотрев вакуумное
среднее от произведения трех полей
<0 I Т (ф (х) Ф (у) /V (г)) | 0>
и используя сохранение тока и полевые уравнения.
2. Выписать общую структуру вершинной функции (р', р) и обсудить
ограничения, накладываемые тождеством Уорда, а также С- и ^-
инвариантностью.
3. Дополнить доказательство перенормируемости (§ 147) и показать, что
произвольное 1Г... ^-внутреннее интегрирование приводит к сходящемуся
результату.
4. Проверить результаты в уравнениях (19.109), (19.111), (19.117) и
(19.118).
5. Проверить уравнения (19.120) и (19.122) и получить аналогичные
результаты в пределе -q2/m2 <С 1.
6. Проверить уравнение (19.131).
ЗАДАЧИ
391
7. Проверить уравнение (19.135) и вычислить Фи/.
8. С помощью представления Челлена - Лемана доказать существование
обратной функции F~l в (19.157).
9. Проверить уравнение (19.161).
10. Выписать общее выражение для амплитуды образования реальных
электрона и фотона на массовой поверхности (р2 - т2, I2 = 0). Используя
обобщенное тождество Уорда, показать, что эта амплитуда может быть
выражена в терминах четырех скалярных функций Fi(W2), где W2 = (р + I)2.
Выписать дисперсионное соотношение для Fi(W2) и связать их с
неприводимыми вершинными функциями задачи 2. В частности, обсудить и
объяснить физический смысл появления заряда е как необходимой константы
вычитания в дисперсионных соотношениях для этой амплитуды.
11. Доказать перенормируемость теории псевдоскалярных мезонов,
взаимодействующих с нуклонами посредством связи без производных. Учесть
то обстоятельство, что, поскольку эта теория не обладает градиентной
инвариантностью, при доказательстве необходимо дополнительно рассмотреть
субграфики я - я-рассеяния.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
КОММУТАТОРЫ И ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ1)
Ниже собраны выражения для инвариантных функций, встречающихся в этой
книге.
Фейнмановский пропагатор для свободного уравнения Дирака имеет вид
Л+ (р) '~х)}=\
- ip (*'-х)
+
+ 0(/- t') Л_ (р)е
ip (ЛГ
d*P e~ip(x'-x)
Р + tn
(2я)4
р2 - гп2 + /е '
Величину is в знаменателе следует понимать в смысле предельного значения
е-"-0+. Это означает, что при вычислении интеграла по dpa следует ис-
/ 1 1Ш/?7
Pj,=-Vps+m2=-E С
? * р^у/рг+тг=Е
Рис. В. 1.
пользовать контур интегрирования, указанный на рис. В.1. 0(Г- () есть
единичная ступенчатая функция:
е п' _ t) = ( +1 *'> 1 ] = - [ d(0 - е-<°
' \ 0 t' < t) 2 ni J <b + ie
Пропагатор Sr удовлетворяет дифференциальному уравнению для функции Грина
(iVx> - от) Se (х' - х) = 64 (х' - х),
J) Приложения А и Б см. в первом томе.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
393
В импульсном пространстве
i + т
S" (р) -
р2 - т2 + /е р - /л + ('е '
Фейнмановский пропагатор для уравнения Клейна - Гордона равен
Д" (*' - дс) - - / J -(-2-^-2м [9 (/' - 0 в"'* <*'-*> + 0 (/ - П eik
"*'"*>] =
S
(2я;)4 6 к2 - от2 + /е
и удовлетворяет уравнению
(?*> + т2) Ду, (дс' - дс) = - 64 (л:' - л;).
В импульсном пространстве
Д "(А)- '
^ к2 - т2 /в
Функции Дг и Sa- связаны соотношением
- дс) = + + m) Af (дс' - х). (В. 1)
Определим функцию Грина для уравнения д'Аламбера о т-*-0:
Ох Dj, (х' - дс) - + 64 (дс' - дс)
(отметим изменение знака по сравнению с Др). Фейнмановский пропагатор для
фотонов равен
DP <?Vv д + gpvDF ("> ~ ~ q^-ie •
Функцию Д^ можно представить в виде
2hp (дс' - х) - ~ г'Дj (дс' - дс) + е (/' - /) А (дс' - дс),
где Ai и А - четное и нечетное решения однородного
волнового уравнения
4' <*¦-*>- \ 15$W <<Г" + *+" 1"Я>'
(?*< + тг) А, (х' - дс) = 0. А, (х'~-х) = + Д, (х - х'),
(?*, + т2) Д (дс' - дс) = 0 Д (дс' - дс) = - Д (•" - *'),
