Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вершинной вставке v. Используя аналогию с теорией электрических цепей из
гл. 18, эту расходимость можно интерпретировать в терминах токов, текущих
по линиям с импульсами р + k и р -f k + q на рис. 19.47,6. В
рассматриваемом случае сопротивления этих линий становятся исчезающе
малыми, в результате по петле в вершинной вставке v течет бесконечно
большой ток. Аналогичная расходимость от области (гь z4) " 0 связана с
внутренним интегрированием в вершине р. Обе расходимости устраняются
двумя вычитаниями вида (19.100), необходимость которых предписывается
программой перенормировок.
Чтобы продемонстрировать сокращение расходимостей, мы заново рассмотрим
контрчлены в (19.100), которые ранее были вычислены в гл. 8. Здесь мы
проведем выкладки способом, максимально близким тому, которым была
вычислена функция
п(2бг)(?2)-
Подставим в (19.100) определение L<2>yv из (19.65). По фейн-мановским
правилам находим
L<2)Yv = A<p(p, p)\fi=m =
- _ ,V>2 С Г Vg + & + m) yv (р + & + w) у" 1 I
" te ) (2я)' (k2 - X2) L [(p + kf - m2]2 J |
§ 148] ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ 367
Кинематика для вершины v указана на рис. 19.47,6. Переменная р не есть
переменная интегрирования; протаскивая р направо или налево, мы всегда
получим р2 = т2 и р = т, поскольку вычитание в вершине каждый раз
приводится на массовой поверхности. В результате получаем *)
т-, (2в) / ч 2 f dikdip с б + m . .
^ (я) - е \ (2л;)8 (?2 - я2) ^PVpp2_m2 X
х[
Уа Ф + ? + т) yv {р + k + т) уа ~| I р + д + т (19 114)
[(p + k)2-m2}2 J|j.m (Р + 4)2-"2 '
Несмотря на то, что р не есть переменная интегрирования, удобно
скомбинировать четыре знаменателя в точности так же, как в выражениях
(19.101) и (19.102); при этом выкладки максимально похожи на выкладки при
вычислении тензора П^. После замены переменных
"/_____, qzi
Р ~Р + -г7 + 17'
дополняющей выражение в знаменателе до полного квадрата, выполним
интегрирование по d4p'; тогда получим
• с j4, г
п<2в) (п\ -_________________\ d k \_______________________у I
)
W - 2п j (2я)4 ) {k2 _ Я2) {Zl + Zl)4
14
X
v cn,r Y a{p + k + m)yv(p+k + m)ya 1|
А ЭР q |_ [{p + k)2 (Z2 + 2з) + g2ZlZJ{zi + Zi) _ m2]2 J ^ +
+ члены с g^. (19.115)
Чтобы выполнить интегрирование по d4k, перепишем фотонный пропагатор в
виде
1__________ Z2 + 23
k2 - Л2 - (г2 + 2з) (k2 - V)
и скомбинируем его с помощью параметра х со знаменателем в (19.115).
Интеграл по импульсу вычисляется затем с помощью замены переменных
k' - k + рх,
после чего, взяв шпур, мы получаем два члена, П(2в,)(^2) и П(2вг) (<72),
которые представляют собой коэффициенты при qllqv в П(2в)(</).
1) Выражение в квадратных скобках в числителе не следует раскрывать до
тех пор, пока мы не заменим его константой, умноженной на yv*
14
- X
368 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
Функция n(2Bl)(</2) содержит часть числителя в (19.115), не зависящую от
k', и равна
п(2в,) (q) = -^r\xdx^ (Zl + 24)4 (2г'+ 2з)
о о
2 - 2х - х'2_
^ т2* - т2х (1 - х) (z2 + z3) - q2xzlzil(zt + z4) + к2 (1 - х) (z2 + z3)
'
(19.116)
Интеграл (19.116) расходится при интегрировании по Zi, z4
0 0 0 0
и сходится после вычитания в точке q2 - 0. Согласно аналогии с теорией
электрических цепей (см. рис. 19.47,6) мы связываем эту расходимость с
интегралом вакуумной поляризации, умноженным на конечную часть вставки
L(2) в вершине v. Хотя функция П<.2в,) (q2) сходится на верхнем пределе,
она расходится в инфракрасной области, поскольку в этой области
расходится вершина перенормировки L<2>. В пределе -q2 " т2 выражение
(19.116), умноженное, как и (19.88), на -2, равно
- 2П?1' (Л = +^-1п [in (х) - 1] + 0 <>)• (1Э.П7)
Функция П(2В!> (q2) возникает при учете членов в числителе выражения
(19.115), пропорциональных (k')2, и логарифмически расходится. Используя
регуляризацию (19.105), получаем
1 I dzx ...dz^n-^гЛг^
П(2вг)(б?2) = - ^xdx J + zi)i (2j ^ 2з)2 X
о о
X In {[Л2 (1 - х) (z2 + z3) + т2х -
- т2х (1 - х) (z2 + z3) - q2x zxzj{zx + z4)] X X [^2(1 - x) (z2 + 23) +
m2x - m2x (1 - x)(z2 + z3) -
- q-2x ZiZjiZi -f z4)]~'}. (19.118)
Это выражение расходится даже после вычитания из него П(2вг) (0).
Расходимость возникает при интегрировании по z2, z} при z2, z3->0. Ее
можно связать с расходимостью константы перенормировки ?(2), умноженной
на интеграл вакуумной поляризации (конечный после вычитания в нуле).
В точности такая же расходимость была найдена нами в (19.112). Указанные
две расходимости сокращаются, если взять
§ 148] ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ 369
разность выражений (19.112) и (19.118), как это предписывается правилами
перенормировки в (19.88). Сделав вычитание в нуле, получаем
ПГЧЛ-2ПГ!)(У) =
а Г . р-'Мр-Е',)
4пз )хах) {Z] + Zi)2(Zi + Z3)2
V*. , "о* , ^ ~ ^ Х
о'
Х1п
".*-?* Г(г, + г,) (z3 + z4) -
L (zi + z4) (z* + z3) J
______?l5l_ln_________w2 [1 - (1 - x) (za + Z3)l____
(z, + z4)2 m2 fI _ (I _ x) (zt + гз)] _ ^
<1 j
-1JSTln--------------gM'-J- .-"> (".+".)! 1 (19.U9)
22 + 2з )
где мы пренебрегли фотонной массой X, поскольку (19.119) уже не содержит
