Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
центра инерции.
Дополнения редактора перевода
39?
Полное сечение превращения равно
Ал а2 АЕ2
(1 + w) л/
М2 АЕ2 -
Заметим, что эта формула неприменима непосредственно вблизи порога
процесса, где образующиеся мюоны нельзя считать свободными.
3. Неупругое рассеяние электрона на протоне (к § 56). В § 56
рассматривалась задача об упругом рассеянии электрона на реальном
протоне. Для этого было модифицировано выражение для тока (7.34),
отвечающее "Дира-ковскому" протону. Эта модификация сводилась к замене J
на {Pf\J\Pi) - матричный элемент точного оператора тока протона,
учитывающего сильные взаимодействия (но первого порядка по
электромагнитным взаимодействиям). Как было показано в § 56, этот
матричный элемент может быть представлен феноменологически в виде
где Гц - вершинная функция протона, выражающаяся согласно (10.88) через
два инвариантных форм-фактора Fu Г2, являющихся функциями от квадрата
переданного импульса q2. Таким образом, амплитуда рассеяния может быть
определена на основании простой диаграммы Фейнмана (рис. 7.3) с заменой в
протонной вершине ^ на Г11.
Аналогично можно рассмотреть задачу о неупругом рассеянии электрона на
протоне, т. е. процесс, в котором электрон теряет импульс q, а протон
превращается в некоторую совокупность адронов. Для этого надо
использовать диаграмму рис. 7.3 или формулу (7.31), заменив протонный ток
/л йа матричный элемент тока
где |Pi) -начальное состояние простона с импульсом Pi, а \п) -конечное
адронное состояние.
Элемент матрицы рассеяния S/г, отвечающий этому процессу, будет содержать
амплитуду
где, как и в § 27, рг и р/ - импульсы электрона до и после расреянйя, а
"(рг) и u(Pf)-соответствующие дираковские амплитуды (мы опустили для
краткости спиновые индексы), q - рг -р/.
Дифференциальное сечение рассеяния с образованием адронного состояния п,
вычисленное по обычным правилам, имеет следующий вид:
й (Pf) Гц" (Р{),
(п I Р | Pi),
(в этой формуле и далее мы пренебрегаем массой электрона).
398
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Просуммировав это выражение по спиновым состояниям электрона в конечном
состоянии, усреднив по спиновым состояниям электрона в начальном
состоянии и просуммировав по всем конечным адронным состояниям п, мы
получим сечение рассеяния электрона на протоне при данном угле рассеяния
и данной потере энергии (инклюзивное сечение).
В качестве независимых переменных удобно выбрать инварианты
42 = (Pi~Pf)2' v = (Pfg).
Мы получим
da = dq2 dv 4<?2 w^nv.
w(tm) = 2(p'}pj + p1p't-^pipf),
= E <211)4 6<4) (pn ~ Pi ~ 4) (Pi I k I n) {n | /v I Pi).
n
Тензорная структура определяется только двумя векторами, Pi
и q.
Из этих векторов и метрического тензора можно построить всего пять
независимых тензоров. Требования инвариантности относительно обращения
времени и сохранение тока накладывают три условия. Поэтому W^v
определяется двумя инвариантными функциями от двух переменных: q2 и v. Мы
можем записать W^y в следующем виде:
где
UV
= 4яМГ, - g(iV) + ~ Г2 ^ (piv
Выражение для сечения мы запишем в системе покоя протона, в которой q2 =
48]e2sin2 -, \ = MqQ, Pipi = Me,,
где 8i, 82 - соответственно начальная и конечная энергии электрона, а #-
угол рассеяния электрона,
da = de2 daMOTT(r2+
Здесь daM0TT - сечение рассеяния релятивистского электрона в кулоновском
поле:
a2 cos2 Ф/2
^^мотт - ^02
sin 0/2
Таким образом, неупругое рассеяние определяется двумя структурными
функциями двух инвариантов, Wt и W2. Если при больших энергиях адронная
структура такова, что не зависит от дополнительных размерных параметров
(типа масс), то Wi и W2 могут зависеть только от безразмерных отношений
q2/v (автомодельность или масштабная инвариантность). Тогда Wь W2 должны
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
399
иметь вид
V V
Заметим, что общее выражение для может быть представлено
в виде
= ^ d*x ei<lx (Pt I [/у. (*), /v (у)] | Pt),
гДе [/и (•*)• /" (*/)] - коммутатор операторов тока в двух мировых
точках.
4. Аннигиляция электронной пары в адроны и адронная поляризация
вакуума (к § 140). Электрон и позитрон могут аннигилировать, испустиив
виртуальный фотон, а последний-образовать из вакуума совокупность адронов
в некотором состоянии п. Обозначим импульс электрона р-, импульс
позитрона р+, импульс виртуального фотона q, а импульс (суммарный)
адронов Рп, при этом
Р- + р+ = q = Pn-
Ток перехода пары в вакуум есть v (р+) \ и (р_), ток перехода вакуума в
адронное состояние мы обозначим как в § 110, через (я | /у, | 0). Процесс
аннигиляции описывается, следовательно, амплитудой
Шп = "7 (° (Р+) У"и (Р-)) <П I ^ I °>-
Определим полное сечение о аннигиляции во всевозможные адронные
состояния. Будем считать, что энергия пары значительно превышает массу
электрона и последней будем пренебрегать. Тогда
0=w Ti1 Шп |2 (2я)4 б<4) (рп ~q)¦
п
После подстановки сюда выражения для $Лп и усреднения по спиновым
состояниям электрона и позитрона получим
а - т г(п) nv
2q6 ^
где
(r)uv = pu"pv + - 2ptpl -
