Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
исчезают нечетные по р' члены. Шпур в числителе можно разложить по
степеням р'\ тогда члены, содержащие нечетные степени р', при
интегрировании дают нуль, а члены, содержащие четыре степени р', дают
вклад, пропорциональный g^v, и могут быть также опущены - эти члены
представляют единственную расходящуюся часть интеграла. Члены,
квадратичные по р', с помощью громоздких алгебраических выкладок
приводятся к виду2) p/2(k^kv - <7W</V) плюс несущественные члены,
содержащие gMv- Выполнив в (19.101) интегрирование по dAp', получим
Nnv = SP Yu [- k (z2 + z3) - (z3 + гА) + m] Ya X
X [k (2] + Zi) - (z3 + z4) + tn] Yv [k (Zi + z4) +
+ (2i + z2) + m] va [ & (z2 + 2з) + (zi + z2) + m\. (19.104)
Далее необходимо выполнить интегрирование по d*k. Отметим важнейшие
промежуточные этапы.
*) Интеграл по импульсам следует регуляризовать, с тем чтобы получить
конечное и однозначно определенное с математической точки зрения
выражение. В первом томе мы использовали градиентно-инвариантный метод
регуляризации (см. (8.20)), который может быть применен и в
рассматриваемом случае.
2) При этом члены, антисимметричные при замене (гь г2)<- > (z3, z4),
можно
опустить.
3! \ dzi ... dZi
о
где
364
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
1. Вначале перепишем -fe2 ^ в следующем виде:
I__________ (zl + Zi) (Z2 + 2з)__
k2 - Я2 (г, + z4) (г2 + г") (к2 - Я2) '
имея в виду дальнейшую параметризацию (19.102), в которой мы сопоставим
фейнмановский параметр х с D\ и у - 1-х с фотонным пропагатором.
2. Регуляризуем фотонный пропагатор
к2-к2 к.2 - Я2 k2 - А2 ' (19.105)
с тем, чтобы сделать конечным интеграл в (19.103), логарифмическая
расходимость которого возникает от слагаемых, пропорциональных k 2/Di и
*701. При этом возникают зависящие от обрезания члены, которые
окончательно исчезают при полном вычитании в Пс(д|2).
3. Сделаем замену переменных
у _ ? I ЧХ UlZ3 - Z2Z4)
К f (г, + г4) (z, + гг) ' чтобы дополнить выражение в знаменателе до
полного квадрата. Тогда после интегрирования по d4k' получаем три члена.
Первый из них возникает из первого слагаемого в (19.103),
пропорционального Df1, назовем его П^'*. Два других члена - П($!) и
Iljfvj) - возникают при интегрировании слагаемого с Df2 и отвечают членам
нулевого и второго порядка по k' в Член в N^y, пропорциональный /г'4,
приводит к несущественному множителю g^v
Коэффициент при q^qv в П^) равен
1 1 dzx ... dzi 6 - ? гЛ
П(2б,) № = 4^ J dx S (z, + гг) (z2 + гг) Х
где
D2 (К2, q2) = К2(1- х) (z, + z4) (z2 + z3) +
+ "г2*- q2x[(Zl + z2) (z3 + z4) - . (19.107)
Интеграл по параметрам в (19.106) не приводит к расходимости, поскольку
при zi-f z4-"-0, z2-f z3->l он ведет себя как
e s
dz4-^-~elne. (19.108)
"j" Z\
0
§ Н8]
ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ
365
Однако если знаменатель содержит дополнительные степени zi, возникают,
как мы вскоре убедимся, трудности. После вычитания получаем выражение
которое сходится; явное вычисление интегралов представляет хорошее
упражнение для энергичного студента. Здесь мы приведем лишь
асимптотическое значение при -д2 " /не-
зависящей от k' части Л'ду в (19.104). Подынтегральное выражение в этом
случае ведет себя как d^k'jk'6 при больших k'2 й несомненно, сходится без
всякой регуляризации фотонного пропагатора. Для коэффициента при д^ду
получаем
где D2(X2,q2) определено выражением (19.107). В пределе -q2-+oo получаем
членам с k'2 в (19.104). Этот тензор не только логарифмически расходится
при интегрировании по d4k', но и содержит перекрывающиеся расходимости и
сходится только после включения контрчленов (19.100), связанных с
перенормировкой вершины. Вычислив все шпуры и выполнив, с учетом
регуляризации (19.105) фотонного пропагатора, интегрирование по d4k', для
коэффициента при д^ду получим
где величина D2 определена в (19.107). После вычитания в точке <72 = 0 в
выражении (19.112) исчезает зависимость от Л2, однако взамен появляется
расходимость при внутреннем интегрировании по параметрам. В этом пункте
как раз и проявляется
dzi ... dZi б /3 - 2(Л т2
(z, + zd (z-2 + z3) D2 (к2, q2) X
42_______ X* (Z1Z3 - Z2Zi)2 (1 4~ ?2 Ч~ ^э)
(z\ + Zi) (z2 + Z3)
0
0
X [(2-1 -f z2)2
], (19.110)
dz 1 ... dZi 6
... dZi 6 p - ? гЛ
о
X (zt - z3) (z4 - z2) In
366
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
трудность работы с перекрывающимися расходимостями. При z2-f z3->0 (и zi-
f z4 " 1, как это предписывается б-функцией) в (19.112) получаем
выражение
1 8
^ dz,. dz4 6(1 - Zi - z4) ziz4 ^ X
о 0
Xln m\x-q\xz^ + Zn~X)u2tZi ¦ (19.113)
m2x - q2xz{z4 + A2 (1 - x) (z2 + z3) v '
которое, как и (19.106), сходится для конечных X и А. Однако
вычитание при q2 = 0 приводит к замене логарифмического
множителя в (19.112) на \n[D2(X2, 0)/D2{X2, q2)]. В результате при z2,
z3->0
(Я2, 0)
In
02 (X2, q2)
" In
<?2"
8
dz2
z2
с
и в (19.113) возникает расходящийся интеграл ^
о
Логарифмическая расходимость в П(2бз), возникающая от интегрирования по
области Z2 + z3 < е, очевидно, связана с внутренним интегрированием в
