Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
содержащиеся в этих членах,
') Подразумевается, что Li в сумме подчеркивать не нужно.
S 148]
ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ
357
все имеют отрицательную степень расходимости. Поэтому (19.84) упрощается
и приводится к виду
S - 1
I ^ = i ^ Lk J y^SpSpAn-k + члены с D < 0.
fe=i
(19.85)
Члены, явно выписанные в (19.85), сокращаются с такими же членами в
(19.83); тем самым доказательство того, что /2 ... is-интегрирование
приводит к конечному результату, закончено. Точно так же можно показать,
что степень расходимости произвольного 1г... /^-интегрирования с 1 < г <
s < п тоже отрицательна. Это мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Таким образом, внутренние интегрирования в П (q2), связанные с вершинными
и собственно-энергетическими вставками, сходятся и полная степень
расходимости в ПД<72) отрицательна: D = -1. Более того, на первый взгляд
расходящиеся блоки фо-тон-фотонного рассеяния на самом деле сходятся и
имеют D ^ -4, если рассматривать градиентно-инвариантные комбинации этих
блоков. Это можно показать, используя аргументы, аналогичные приведенным
выше. Поэтому из теоремы Вайнберга следует, что функция Пc(q2) конечна в
любом порядке е2. Из (19.51 д) следует, что йр(ф^ также конечна в любом
порядке по е2. Таким образом, наше доказательство закончено. Мы показали
по индукции, что Гц, Sp, Df^v и S-матричные элементы конечны в n-м
порядке, коль скоро они конечны в порядке п-2. Конечность этих величин в
приближении е2 нам уже известна из непосредственных вычислений.
В заключение этого параграфа снова подчеркнем, что наш результат ничего
не говорит о сходимости перенормированного ряда теории возмущений.
Например, при высоких энергиях, как отмечено в гл. 8, параметр разложения
ряда теории возмуще-
?
ний может быть не a, a ain - .В этом случае разложение является
асимптотическим и сходится в лучшем случае при низких энергиях.
§ 148. Пример перенормировки заряда
в четвертом порядке
Фактические вычисления перенормированных величин в низшем порядке теории
возмущений были выполнены в гл. 8. При этом, однако, не возникала
рассмотренная в предыдущем параграфе проблема перекрывающихся
расходимостей, поскольку эти расходимости впервые проявляются лишь в
порядке а4. Для
358
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
того чтобы проиллюстрировать детали приведенного выше анализа, мы
вычислим здесь явно тензор вакуумной поляризации и покажем, что величина
Uc(q2) (а вместе с ней и Dp) конечна с точностью е4 [120].
р
с
ъ V j i*j
ХчУ
Р+9 p+k+q
9
9 * У
t^/v4/V' - >/v4/"
Р+9
а)
Рис. 19.47. Два члена порядка е4 в уравнении (19.86) для (q).
Вернемся к выражению (19.67)
Пщ- (<?) = i J №&fv + i S (19.86)
и выделим в нем с помощью (19.51) все члены порядка е4. Диаграмма,
отвечающая первому слагаемому в правой части
(t Tv
"v
9
а)
Ф
р-г
р + сг
Рис. 19.48. Собственно-энергетические и вершинные вставки второго
порядка, которые в приближении е4 нужно учесть в диаграмме 19.47, а.
(19.86), указана на рис. 19.47, а. В приближении е4 для собственно-
энергетических и вершинных частей этой диаграммы нужно оставить графики,
указанные на рис. 19.48. Отметим, что каждая из вершинных вставок дает
один и тот же результат, поскольку замена q q, р <-*¦ v не изменяет
ПцУ(<7)> н0 переводит (а) в (б) и наоборот. По той же причине равны и
соб-
§ 1481 ПЕРЕНОРМИРОВКА ЗАРЯДА В ЧЕТВЕРТОМ ПОРЯДКЕ 369
ственно-энергетические вставки (в) и (г). Поэтому достаточно учесть
только одну вершинную и одну собственно-энергетическую вставку и
результат умножить на 2. Разложение второго слагаемого в (19.86)
начинается с члена порядка ё2, этот член вместо Гц и Sp содержит уд и Sp
соответственно, а для ядра К в нем подставлена скелетная диаграмма рис.
19.47,6. Собирая все члены порядка е4 и используя (19.51), получаем
п(,2и?) = 2ф Js;(2) - Sf] S^YV +
+ 21 \ у,SA[U2) - Yv] + ' S V^S^S^Yv-
= 2i \ \^S'F{2)Spyv - 2i J ytlSPSPy4LV -
-i\yilSPSPK^SPSFyv, (19.87) где L<2) = 1-Z\ (cm. (19.65), (19.66))-
константа перенорми-
*a'(2) P'<2)
ровки вершины, вычисленная во втором порядке, a oSF =SF - - SF. Используя
(19.63), можно выразить последний член в
(19.87) через перенормированную вершинную функцию порядка е2:
-\K{(>)SFSFyv = A{2), после чего (19.87) приводится к виду, удобному для
вычислений, <(<?) = 2 i\^r Sp yJSS'(tm) (р) yvSF (p + q) +
+1S Sp \sf (p) Л12) (p> p + q)sF(p + q)~
_ 2/ 5 Sp Y,5f (p) yvSF (p + q) L<2>. (19.88)
Определение кинематических переменных дано на рис. 19.47 и 19.48. Первый
член в (19.88) включает собственно-энергетические вставки и не содержит
перекрывающихся расходимостей. Следует ожидать поэтому, что вклад этого
члена в Tic{q2) конечен, в чем мы скоро убедимся непосредственным
вычислением. Два последних члена в (19.88) содержат неперенормированные
вершинные вставки A(v2). При их вычислении необходимо вычесть два
возможных расходящихся субграфика, относящихся к каждой из вершин в
Фактические вычисления при этом сложнее, чем в первом случае, но в конце
