Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
<=1
где
2, w = 1 - Е 1ц Л? (р, р) = 0 (19.74)
и
- J = Ll+ly№ + Лг+ь Л? ^ /. (19.75)
Таким образом, мы получили для Г**(р', р) ряд сходящихся интегралов. Роль
констант L,-, через которые определяется константа перенормировки Zх,
заключается в устранении расходимости в полном вершинном интеграле
(19.75), для которого
Рис. 19.45. Диаграммное разложение для (д).
D = 0, а также в расходящихся субграфиках, связанных с теми
вычитательными членами, которые целиком содержатся внутри этого
интеграла. Подставим теперь (19.73) в выражение (19.67) для №''(17), в
результате получим графическое разложение, изображенное на рис. 19.45.
Нашей задачей является показать, что в каждом члене этого разложения все
внутренние интегрирования дают конечный результат. Тогда, используя
теорему Вайнберга, мы получим, что полное вычитание в (19.51 е) приводит
к тому, что функция Пс(<72) = Щр2)-П(0) конечна и определяется
интегралом, эффективная степень расходимости которого равна D = -1.
5 147] КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ 351
Подставив (19.73) в (19.67), сгруппируем члены, содержащие одну и ту же
степень R; тогда получим
п^=/$|у+лг+л?+ ...]§;§;х х[1 + /(.§;$;]|у+лг+ ...]=пг+пг+пг+ .... (19.76)
где
ПГ=* J y"SkSkyv,
П? - / ^ y^SpSfAi "Ь г ^ Al\SFSpyv -j- i ^ y^SpSpRSpSpy^,
nSv = / 2 + " ? \ A^SfSfKS'fSfK. (19.77)
r+Ss/l r + s - n - 1
Каждый график в содержит п итераций ядра R, как это показано на рис.
19.46. В силу (19.75) Лг содержит г итераций ядра R, поэтому каждый член
в правой части (19.77) содержит ядро R п раз.
Чтобы убедиться в том, что Пс(?2) сходится, необходимо показать, что
степени расходимости всех субграфиков, входящих в Пс, отрицательны. По
гипотезе индукции те субграфики, которые целиком содержатся внутри Лм или
R, сходятся. Поэтому любой расходящийся субграфик с необходимостью
содержит некоторую совокупность внутренних линий, принадлежащих SF (см.
рис. 19.46). Обозначим импульсы, относящиеся к этим линиям, через /,-.
Назовем далее внутреннее интегрирование, относящееся к субграфику,
целиком содержащемуся в первом ящике, ^-интегрированием, внутреннее
интегрирование в субграфике, содержащемся во втором ящике-/^-
интегрированием и т. д. Точно так же определим, например, /2/з-, /2/3/4-
интегрирования. При этом, однако, рассматривать интегрирования вида hhUh
не нужно, поскольку соответствующие субграфики не связаны. Выписав явно
импульс U и опустив обозначения всех остальных импульсов в R и Л*1, а
также спиновые индексы, перепишем (19.77) в следующем виде:
пг (?) = / Y S Iw-Л' V'+' + ч. м X
r+S*=tl
X Sf (/r+1) Sf {lr+1 + ?) Л* (lr+1, lr+1 + q) + + *' E S "(2r*nty- ^
(/r+' + 4, Ir+i) Sf (/r+i) & (/r+1 + ?)X
r+s-=n-1
x KSp (lr+2) Sp (tr+2 + q) As (lr+2, lr+2 + q). (19.78)
со
сд
ю
§ 147]
КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ
353
Рассмотрим вначале ^-интегрирование, в этом случае достаточно рассмотреть
только член с г - 0 и Ло = уц', поскольку при г ^ 1 график, отвечающий
Zi-интегрированию, целиком содержится внутри Л? (lr+j, [r+1 + ф и по
построению сходится (см. (19.73)). Подозрительный член в (19.78) с г - 0
в символических обозначениях равен
i J + / J у^SfS'fKSfSfA^ = - " J уХ =
= -1 \ w (/l) ^(/l + q) yVin! (19-79)
где мы использовали (19.75). Константа вычитания Ln, хотя и расходится,
не имеет отношения к вопросу о сходимости 4-интегрирования, поскольку эта
константа представляет интеграл, зависящий от остальных переменных /2,
..., /". Интеграл в. (19.79), как и следует ожидать, имеет D = -j-2.
Однако после вычитания двух степеней импульсов, необходимых для
воссоздания тензорной структуры quqv, эффективная степень расходимости
понижается до D - 0. Образовав разность Ylc(q2) = = П (q2) - П(0) (см.
(19.51е)), мы понижаем D до -1. В результате приходим к выводу, что 4-
интегрирование сходится, поскольку сходятся все внутренние
интегрирования, содержащиеся в функции Sf в (19.79).
Перейдем к обсуждению 44-интегрирования. По аналогии с предыдущим случаем
достаточно рассмотреть только члены с г = 0 и 1, поскольку для 2 /^-
интегрирование целиком содержится внутри Лг и тем самым автоматически
сходится. Соответствующие члены в (19.77) равны
/ ^ у^АрА^Л^ -f- / ^ A'l'SpSfAn-i +
+ / J у^SfSfKSfSfAI^ + / \ A^SfSfKS'fSfAI-2 =
= - / ^ ytlSFSFyvLn -- / ^ ,
где снова учтено выражение (19.75). Выписав явно аргументы импульсов и
опустив спинорные индексы, получим
X [к (р, Р, Р- 4) s'f (4) Sf (4) Al-i (4, 4)]~ _т - - / 5 -|§гЛГ (4 + q,
4) Sf (4) & (4 + q) y U-u О9.80)
354
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
В (19.80) явно выписан расходящийся интеграл по /2. При подсчете степеней
импульсов при ^-интегрировании из первого члена нужно вычесть 2 (по тем
же причинам, что и в предыдущем случае) и еще 1, отвечающую полному
вычитанию1) содержащемуся в Uc(q2). При подсчете числа степеней импульса
/2 в выражении, заключенном в квадратную скобку, мы можем быть заранее
уверены в том, что соответствующая степень расходимости неположительна,
