Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
возникают аналогичные диаграммы высших порядков, в которых все линии,
входящие в К, относятся к рассматриваемому субграфику (за исключением,
быть может, тех, которые целиком лежат внутри ящика, отвечающего
вычитаниям). Эти диаграммы, согласно правилу подсчета степеней (19.62),
также имеют D(R) - -2. Далее рассмотрим субграфики, содержащиеся в R с
D(R) ^-2 и не содержащие безвредных вычитательных членов. Степень
расходимости таких субграфиков нельзя понизить, делая полное вычитание
¦) Напомним, что выражение (19.63) содержит сумму конечного числа
фейнмановских диаграмм, каждая из которых в свою очередь содержит
конечное число вершинных и собственно-энергетических вставок.
344
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
в (19.63). Примеры этих субграфиков изображены на рис. 19.42, а, они
отвечают случаю, когда ядро разбивается на две части А и В, причем блок А
содержит все линии субграфика ]) в то время как остальные линии2) либо
содержатся в В, либо соединяют блоки А и В. Субграфик 3?, очевидно,
расходится только в том случае, когда вклад в D(R) --2 дают
I_____________
лу\/\/\/\|л
ф
Рис. 19.41. Внутренние интегрирования в вершине, содержащие импульсы I
пропагаторов Sp
линии из блока Л, однако правило подсчета степеней показывает, что это
невозможно. Действительно, степень расходимости D{R)^ - 2 имеют только
диаграммы, в которых блоки А и В соединяются либо двумя фермионными
линиями, либо одной, двумя или тремя фотонными линиями. Случай двух
фермионных и одной фотонной линии исключается, поскольку такие графики не
содержатся в определении R (см. рис. 19.11). Диа-
') Легко показать, что случай, когда все внешние линии присоединяются к
блоку А, можно не рассматривать.
2) При этом нужно рассматривать только связанные субграфики (.см. стр.
339j.
§ U?1
КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ
345
грамма с двумя фотонами равна нулю в силу зарядовой инвариантности,
поскольку, являясь частью вершинной функции, она сводится к замкнутой
петле с тремя внешними фотонными линиями. Наконец, в последнем случае
диаграммы с тремя фотонными линиями, указанном на рис. 19.42,6, полная
степень
Рис. 19.42 Потенциальные опасные субграфики.
расходимости понижается на четыре единицы, что связано с обсуждавшимся
ранее законом сохранения тока1).
Таким образом, мы убедились в том, что субграфики 9?, содержащие ядро R,
все имеют D(j?)js;-2, причем степень расходимости D(R) =-2 имеют только
те диаграммы, которые целиком содержатся в R (за исключением диаграмм,
содержащихся внутри блоков с вычитаниями). Поэтому, в том случае, когда
субграфик & расходится, вклад в степень расходимости его части,
заключенной внутри вершины f{f-2>, равен нулю. По гипотезе индукции,
однако, все внутренние интегрирования внутри Г{?~2) имеют D < 0, в
результате мы приходим к единственной возможности: субграфик S вообще не
содержит
') При этом, конечно, нужно включить субграфики фотон- фотонного
рассеяния, необходимые для обеспечения градиентной инвариантности полной
амплитуды.
346
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
линий, относящихся к Поэтому этот субграфик может
только целиком лежать внутри блока с вычитаниями
(см. рис. 19.41,в). После вычитания в (19.63), которое затрагивает все
линии ядра R, его степень расходимости уменьшается на единицу. При этом
уменьшается также на единицу и полная степень расходимости, поэтому,
согласно теореме Вайнберга, величина ')
К(п) (р', р) = (р', р) - ЛцП) (р, р) \р=т (19.64)
однозначно определена й не зависит от обрезания. Так как по построению
Kin)(p, p)\fi.m = 0 и л1п)(р, p)lfi.m = L<\, (19.65)
где L(n) - константа, зависящая от обрезания, из (19.52) и
(19.63) получаем
Z(r} == 1 - L(n) (19.66)
с точностью до членов порядка еп. Следовательно, в указанном
порядке
Гр ' (Р', Р) = Yu + A?(n) (р', р) конечная величина. Согласно (19.51 г)
то же относится и к электронному пропагатору Sf-
Все, что нам теперь осталось, это обсуждение вакуумной поляризации
Пс(<72). Этот случай более труден для рассмотрения ввиду проблемы
перекрывающихся. расходимостей. Как было показано в § 141, ящики,
окружающие вершинные части, могут перекрываться в том случае, когда они
находятся внутри собственно-энергетических вставок. Указанная трудность,
остававшаяся долгое время в тени, теперь выходит на передний план.
Типичный пример графика вакуумной поляризации изображен на рис. 19.43. На
этом рисунке расходятся те субграфики, которые либо сводятся к вершинным
вставкам в конце диаграммы, либо перекрываются. Очевидно, что указанные
субграфики нельзя выделить по отдельности, один за другим. Кроме того,
ряд субграфиков, сходящихся до вычитаний, при учете вычитаний становится
расходящимся - такие субграфики получаются заменой одного или нескольких
ящиков на рис. 19.43 ящиками с пунктирными линиями2). Необходимо поэтому
тщательно рассмотреть указанные субграфики и показать, что все они
•) Напомним, что условие \р=*т означает, что р, действуя направо, дает т.
2) При этом ящики с пунктирными линиями можно считать неперекры-
