Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 118

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 138 >> Следующая

поскольку это выражение сводится к вершинной вставке2). В результате
степень расходимости для lj2-интегрирования в первом члене не превосходит
-1. Точно так же полное вычитание во втором члене понижает указанную
степень расходимости по крайней мере до -1. Следует подчеркнуть, что ни
первый, ни второй члены в (19.80) сами по себе не приводят при
интегрировании по 12 к конечному результату. Зто обстоятельство, однако,
не затрагивает наши рассуждения, поскольку мы интересуемся степенью
расходимости /1/2-интегрирования, а не внутреннего интегрирования по /2.
Ответ же на интересующий нас вопрос утвердительный: степень расходимости
субграфика, отвечающего /^-интегрированию, отрицательна. В свою очередь
можно рассмотреть и каждое внутреннее интегрирование по отдельности, не
обращая внимания на остальные; вопрос о сходимости каждого из них
решается с помощью теоремы Вайнберга.
Теперь ясно, как обобщаются полученные результаты для произвольного 1\
... /г-интегрирования. Все члены в (19.77), содержащие Л?(/й+1 + q, h+\)
с k~^r, по гипотезе индукции автоматически сходятся, поскольку для этих
членов 1\ ... /^Интегрирование целиком содержится внутри Л*. Остающиеся
члены можно записать в виде
>) При этом следует помнить, что выражение в квадратных скобках в формуле
(19.80) представляет константу, умноженную на матрицу у.
2) Следует понимать, что полное вычитание в П не уменьшает./) для всех
Щг-субграфиков. Однако единственными субграфиками, для которых это
вычитание необходимо, является субграфик, содержащий все линии ядра К, н
субграфнки, указанные на рис. 19.40, а. Для этих субграфиков
вычитательная процедура на самом деле уменьшает D, поскольку они содержат
внешний импульс q, который течет только внутри них. Остальные субграфики
уже имеют D - 1.
§ Н7]
КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ
355
Интегрирования по h ... lk целиком содержатся внутри Ль а интегрирования
по 1к+2 ... 1Г, если таковые существуют, содержатся в константе
перенормировки Ln~k¦ Степень расходимости при lk+2 • • • /r-
интегрировании неположительна, поскольку - вершинная вставка. С другой
стороны, степень расходимости при li ... /ьн-интегрировании понижается от
+2 до -1, поскольку нас интересует не П(</2), а Пс(<72). Поэтому и полное
1\ ... /^-интегрирование приводит к сходящемуся результату.
Аналогичным способом следует рассматривать 12-, Ыъ-, ... интегрирования.
Наша задача - привести соответствующие выражения к виду, удобному для
проведения полного вычитания в n^v! при этом мы установим сходимость
рассматриваемых субграфиков. Начнем с /г-интегрирования. Единственно
подозрительными с точки зрения расходимости являются те члены в (19.77),
в которых ^-интегрирование не содержится целиком в Аг или As. Выпишем эти
члены, подчеркивая множители, содержащие импульс /2:
[Подозрительные члены];? =
= i J AfS^SfAL. + i ^ ^¦SpSfKS'f^A^ +
+ i^ A'iSfSfKSfSfAh- 2 -
= - iLj j + i j A^S'fS'fKS'fS'fAZ^ ¦ (19.81)
Используя снова (19.75), представим последний член в (19.81) в виде
i J A^Sp^fKSfSpA^.2 = - ILi J V%&fKSfSfAZ-2 -
- i J y^S'fS'fKSfS'fKSfSfA^. (19.82)
Ясно, что в последнем члене в этой формуле ^-интегрирование сходится,
поскольку четыре подчеркнутых множителя дают D (12) ^ -2 для любого /г-
интегрирования. Комбинируя первые члены в формулах (19.82) и (19.81),
получаем для оставшихся подозрительных членов
[Подозрительные члены],; =
= - iLi J /S^A"-! - Щ J fS^KSpSp Л^_2 =
==//., 5/S^yvL"_,.
356 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
Это выражение, очевидно, сходится по отношению к /г-интегрированию, если
в нем сделать полное вычитание, отвечающее вычислению Пс(<72)-
Аналогичная техника применима для исследования произвольного /г ¦ • ¦
/з-интегрирования. Те члены в (19.77), которые отвечают
неотрицательной степени расходимости при этом интег-
рировании, с помощью (19.75) приводятся к виду
[Подозрительные члены]г л =
S-1 5-1
= * S ^-kSpSpAn-k + i ^ ^ AkSfSpKSpSfAn-k-i -
k = \ k=0
5 - 1
= 1 Z M Y^&A"-* + i 5 AS-iS^S^S^AX_s. (19.83)
k=\
Снова, как и при рассмотрении ^-интегрирования, обратим внимание на
последний член в (19.83). Используя (19.75), выразим As-i через As_2 и
Ls-i, затем As-2 через Л^-з и Ls-2 и т. д. В результате получим
J ^s-iSfSfKS'fS'fA^s =
5-1
= i ? (-1 )s~kLk J y"S'FS'FKS'FS'F ... KS'fSfAIs +
*=1
+ i (-1Г1 J у"S'FS'FKS'FS'F . .. KSfSfAHs, (19.84)
где мы подчеркнули члены, зависящие от импульсов ') /2, •. •, /"•
Последний член в (19.84), очевидно, имеет отрицательную степень
расходимости и его можно опустить. Члены под знаком суммы могут быть
упрощены, если с помощью (19.45) выразить Лl-s через Лп_*+1, Л^_5+2 и т.
д. до тех пор, пока мы не избавимся от множителей R. Получающиеся при
этом члены, содержащие вычитательные константы, все имеют структуру
Lk J v"S'fSfR .. . S'FSryvLi.
Полное вычитание в П(^2) уменьшает степень расходимости подынтегрального
выражения до -1, и, поскольку все внутренние интегрирования внутри
констант перенормировки Lk имеют D ^ 0, /2 • • • ^-интегрирования,
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed