Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(33.12)
Тогда угол наклона в гребня волны равен просто частному от деления разности вертикальных размеров волновых диаграмм, которая здесь равна mH/R 2, на расстояние H между событиями А и В:
O-JIL
(33.13)
Это угол наклона спустя единицу времени после начала движения пакета. Однако длина волны, с которой нам здесь приходится иметь дело, должна быть намного короче одной световой секунды, так что наклон спустя один период волны At после начала движения будет соответственно меньше
W А/
0 =
R1
(33.14) 33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко
279
Поскольку m/R ^l, малым различием между координатным и собственным временами всюду можно пренебречь.
Все вроде бы неплохо, но создается впечатление, что волно- Ускорение вой пакет уходит вверх, т.е. в сторону больших значений радиуса, тогда как ему полагалось бы отклоняться вниз. Однако не будем торопиться с выводами; здесь надо быть осторожнее. Ведь для того, чтобы сказать, куда движется волновой пакет, следует пользоваться групповой скоростью, а не гребнями волн. Групповую скорость можно найти с помощью волновой диаграммы. При этом нужно иметь в виду, что здесь, как и в СТО, углы ведут себя весьма специфическим образом. Так как наши диаграммы отличаются от спецрелятивистских всего на одну миллиардную долю, мы вполне можем воспользоваться теми сведениями о волновых диаграммах в СТО, которыми располагаем. В частности, мы знаем, что вектор групповой 4-скорости наклонен под таким же углом, как и волновой фронт, но в противоположном направлении. Таким образом, отклонение волнового фронта вверх соответствует падающим частицам. Изменение скорости волнового пакета за единицу времени равно
Av _ т At-R2'
[Это обсуждалось в примере на стр. 220.]
(33.15)
а это и есть ускорение свободного падения
8 = fi- (33.16)
Заметьте, что ускорение свободного падения не зависит от фактической длины волны волнового пакета. Частицы с разными массами обладают разными длинами волн, но ускорение свободного падения для них одинаково. Этот фундаментальный результат называется принципом эквивалентности. В его пользу с чрезвычайно высокой точностью свидетельствуют результаты многочисленных экспериментов. Различие в ускорениях свободного падения для объектов Лабораторных масштабов не превышает 10 ~12 g. Один из первых экспериментов такого-ро-да был выполнен Этвешем и носит его имя. (Согласно его собственному результату, полученному в 1905 г., различие ускорений не превышает IO-8.)
Теперь вернемся немного назад и обсудим сложившуюся ситуацию. Для локального выполнения СТО необходимо, чтобы всякая теория тяготения опиралась на волновые диаграммы, близкие к спецрелятивистским. Далее, чтобы частицы падали,
Эксперимент Этвеша
Обсуждение 280
Гл. III. Гравитация
волновые фронты должны быть наклонены, причем под совершенно определенным углом. Это в свою очередь требует сжатия волновых диаграмм в направлении оси времени по мере смешения от начала координат вдоль радиуса. Но именно такое сжатие необходимо для получения гравитационного красного смещения. Итак, теперь мы располагаем еще более общим выводом красного смещения. Вообще, любая теория тяготения, в которой частицы могут описываться волновыми уравнениями, приводит к правильному значению гравитационного красного смещения.
ЗАДАЧИ
33.1. (19) Если мираж образуется над нагретым шоссе, то вполне можно считать, что л = 1, а градиент dn/dz = = 0,00005 м-1. Найдите, на какой угол отклонится свет, прошедший вдоль дороги расстояние порядка километра.
33.2. (27) Обратите внимание, что в расчет гравитационного красного смещения входит только //-компонента метрического тензора. Докажите, что /r-компоненту можно изменить с помощью преобразований координат, сохраняющих сферическую симметрию пространства-времени и одновременно симметрию по отношению к сдвигу во времени, тогда как //-компонента при таких преобразованиях не меняется.
33.3. (19) На сфере можно ввести так называемые стереографические координаты, которые получаются, если спроецировать точки сферы из южного полюса на плоскость, касательную к северному полюсу, как показано на рис. 33.13. В таких координатах волновые диаграммы представляют собой окружности с радиусами, пропорциональными (1 + г2). Исследуйте графически геодезические этого пространства.
N 34. Геодезические
281
33.4. (28) Найдите приближенный вид дисперсионного уравнения свободной частицы
для малых расстояний над поверхностью Земли. Изменив масштаб вертикальной координаты, запишите это уравнение в более простой форме
где X — новая вертикальная координата.
33.5. (37) Найдите групповую скорость и волновую диаграмму для упрощенного дисперсионного уравнения из задачи 33.4. Найдите к и ш для х < 0, полагая, что при X = O скорость частицы равна нулю. Сделайте аккуратный набросок гребней волны и лучей.
33.6. (38) Распространите выполненное в этом разделе исследование падающей частицы на случай частиц, движущихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света.
