Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 100

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 139 >> Следующая


(±\(а±\(Ь±\_д_ R2 дк ф,Ьк\дф)\я дф)\Я дк/ дх"-'

(35.14)

(35.15)

откуда легко найти две компоненты тензора Римана на сфере: Л *ФФК = О,

R*

ФФХ '

-1.

(35.16)

Если теперь выполнить параллельный перенос вектора д/дк, то получим еще две компоненты:

(35.17)

Я\фк = О,

Перенос векторов при противоположном направлении обхода контура квадрата приводит лишь к изменению знака, т.е.

Л *ФКФ — О,

¦фкф ¦

(35.18)

Наконец, обход контура с площадью, равной нулю, должен давать нулевой результат; следовательно,

R"?\x - °> Ra^ = 0.

(35.19)

где а и ? — любые индексы. Таким образом мы нашли все шестнадцать компонент тензора Римана. Окончательно можно 35. Кривизна пространства-времени

297

написать

Тензор Римана

R ® d^ ~ їф 8 ® ^dk 8 d<t> ~ d^ 8 dk^' (35'20)

Итак, локальная кривизна многообразия описывается тензором Римана — линейным оператором, который при введении в него трех векторов на выходе дает четвертый. Так как, согласно определению, при умножении тензора Римана на длину в третьей степени в результате получается длина в первой степени, он должен иметь размерность 1/(длина) 2. Из соображений размерности следует ожидать, что вне тела массой M тензор Римана ведет себя как M/R 3. Согласно другой интерпретации, тензор Римана описывает приливное воздействие гравитационного поля. В самом деле, приливный эффект пропорционален величине M/R 3.

[Обратите внимание, насколько компактнее это выражение по сравнению с перечислением всех компонент тензора кривизны.]

Тензор Римана описывает локальную кривизну

Пример 3

Идеи, с которыми вы ознакомились в этом разделе, позволяют Отклонение светового луча сделать грубую оценку угла отклонения света гравитационным полем массивного тела, подобного Солнцу. Один из источников неточности наших рассуждений связан с предположением, что луч света можно рассматривать как жесткий стержень. Корректный расчет показывает, что это может быть причиной погрешностей в оценке одного или даже двух коэффициентов, входящих в искомую формулу. К тому же, чтобы использовать выражение, полученное выше для малого прямоугольника, при расчете рассматриваемого в данной задаче (рис. 35.6) большого прямоугольника, нужно предположить, что последний разбит на множество малых, и затем найти результирующий эффект, просуммировав тензоры Римана по всему прямоугольнику. Но все не так просто, ибо здесь предполагается сложение тензо-

Afacca

т* --

Параллельные лучи света, идущие от звезды

Рис. 35.6

Гигантский геодезический квадрат в космическом пространстве, предназначенный для расчета отклонения луча света гравитационным полем массивного тела. В действительности искривлены оба луча света. 298

Гл. III. Гравитация

ров, относящихся к разным точкам, а выполнение такой операции требует осторожности.

Если тензор Римана спадает как 1 /г 3, то наибольший вклад в сумму даст область, непосредственно примыкающая к массивному телу. Радиус этой области равен минимальному расстоянию, на котором луч света прошел бы мимо тела, если бы не было поля тяготения. Тогда можно получить следующую оценку угла отклонения в:



M R'

(35.21)

Разумеется, здесь следовало взять интеграл. Мы избежали этого, но в результате потеряли некоторый числовой множитель. Для Солнца наш упрощенный расчет приводит к углу отклонения света

„ M 5 • Ю-6

0 = — = -

R 2

(35.22)

= 2-10 6 радиан = - дуг. сек.

Аккуратные вычисления дают следующий точный результат:

4M

0 =

R '

(35.23)

Уравнения Эйнштейна

Важное значение тензора Римана заключается в том, что он является динамической величиной в уравнениях Эйнштейна. Эти уравнения описывают динамику пространства-времени почти так же, как уравнения Максвелла описывают динамику электромагнитного поля. Уравнения Эйнштейна имеют вид

R^pgae -\R\b?ga?W = 8тгГ?,

(35.24)

где R".ap? — тензор Римана, g"0 — тензор, обратный метрическому, &? — символ Кронекера, a Viv — тензор, описывающий плотность энергии, плотность импульса и плотность натяжений. Тензор для краткости называют тензором энергии-импульса. Он играет роль источника гравитационного поля точно так же, как плотности заряда и тока играют роль источников электромагнитного поля. Методы обращения с этими уравнениями и их решение выходят далеко за пределы наших возможностей, но мы привели их здесь, чтобы вы хотя бы знали, как они выглядят. 35. Кривизна пространства-времени

ЗАДАЧИ

35.1. (14) Докажите с помощью геодезического квадрата, что кривизна (как мы ее определили в этом разделе) поверхности цилиндра равна нулю.

35.2. (16) Сделайте то же самое, что и в задаче 35.1, для конуса.

35.3. (25) Что можно сказать по поводу вершины конуса в задаче 35.2?

35.4. (12) Верно ли утверждение, что наибольшее значение тензора Римана для Солнечной системы достигается на Земле?

35.5. (33) Постройте на сфере геодезический квадрат с вершиной на Северном полюсе.

35.6. (36) Постройте геодезический квадрат на псевдосфере с метрикой

&=R2(dx2+ sh2xrf<^2).
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed