Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(±\(а±\(Ь±\_д_ R2 дк ф,Ьк\дф)\я дф)\Я дк/ дх"-'
(35.14)
(35.15)
откуда легко найти две компоненты тензора Римана на сфере: Л *ФФК = О,
R*
ФФХ '
-1.
(35.16)
Если теперь выполнить параллельный перенос вектора д/дк, то получим еще две компоненты:
(35.17)
Я\фк = О,
Перенос векторов при противоположном направлении обхода контура квадрата приводит лишь к изменению знака, т.е.
Л *ФКФ — О,
¦фкф ¦
(35.18)
Наконец, обход контура с площадью, равной нулю, должен давать нулевой результат; следовательно,
R"?\x - °> Ra^ = 0.
(35.19)
где а и ? — любые индексы. Таким образом мы нашли все шестнадцать компонент тензора Римана. Окончательно можно35. Кривизна пространства-времени
297
написать
Тензор Римана
R ® d^ ~ їф 8 ® ^dk 8 d<t> ~ d^ 8 dk^' (35'20)
Итак, локальная кривизна многообразия описывается тензором Римана — линейным оператором, который при введении в него трех векторов на выходе дает четвертый. Так как, согласно определению, при умножении тензора Римана на длину в третьей степени в результате получается длина в первой степени, он должен иметь размерность 1/(длина) 2. Из соображений размерности следует ожидать, что вне тела массой M тензор Римана ведет себя как M/R 3. Согласно другой интерпретации, тензор Римана описывает приливное воздействие гравитационного поля. В самом деле, приливный эффект пропорционален величине M/R 3.
[Обратите внимание, насколько компактнее это выражение по сравнению с перечислением всех компонент тензора кривизны.]
Тензор Римана описывает локальную кривизну
Пример 3
Идеи, с которыми вы ознакомились в этом разделе, позволяют Отклонение светового луча сделать грубую оценку угла отклонения света гравитационным полем массивного тела, подобного Солнцу. Один из источников неточности наших рассуждений связан с предположением, что луч света можно рассматривать как жесткий стержень. Корректный расчет показывает, что это может быть причиной погрешностей в оценке одного или даже двух коэффициентов, входящих в искомую формулу. К тому же, чтобы использовать выражение, полученное выше для малого прямоугольника, при расчете рассматриваемого в данной задаче (рис. 35.6) большого прямоугольника, нужно предположить, что последний разбит на множество малых, и затем найти результирующий эффект, просуммировав тензоры Римана по всему прямоугольнику. Но все не так просто, ибо здесь предполагается сложение тензо-
Afacca
т* --
Параллельные лучи света, идущие от звезды
Рис. 35.6
Гигантский геодезический квадрат в космическом пространстве, предназначенный для расчета отклонения луча света гравитационным полем массивного тела. В действительности искривлены оба луча света.298
Гл. III. Гравитация
ров, относящихся к разным точкам, а выполнение такой операции требует осторожности.
Если тензор Римана спадает как 1 /г 3, то наибольший вклад в сумму даст область, непосредственно примыкающая к массивному телу. Радиус этой области равен минимальному расстоянию, на котором луч света прошел бы мимо тела, если бы не было поля тяготения. Тогда можно получить следующую оценку угла отклонения в:
M R'
(35.21)
Разумеется, здесь следовало взять интеграл. Мы избежали этого, но в результате потеряли некоторый числовой множитель. Для Солнца наш упрощенный расчет приводит к углу отклонения света
„ M 5 • Ю-6
0 = — = -
R 2
(35.22)
= 2-10 6 радиан = - дуг. сек.
Аккуратные вычисления дают следующий точный результат:
4M
0 =
R '
(35.23)
Уравнения Эйнштейна
Важное значение тензора Римана заключается в том, что он является динамической величиной в уравнениях Эйнштейна. Эти уравнения описывают динамику пространства-времени почти так же, как уравнения Максвелла описывают динамику электромагнитного поля. Уравнения Эйнштейна имеют вид
R^pgae -\R\b?ga?W = 8тгГ?,
(35.24)
где R".ap? — тензор Римана, g"0 — тензор, обратный метрическому, &? — символ Кронекера, a Viv — тензор, описывающий плотность энергии, плотность импульса и плотность натяжений. Тензор для краткости называют тензором энергии-импульса. Он играет роль источника гравитационного поля точно так же, как плотности заряда и тока играют роль источников электромагнитного поля. Методы обращения с этими уравнениями и их решение выходят далеко за пределы наших возможностей, но мы привели их здесь, чтобы вы хотя бы знали, как они выглядят.35. Кривизна пространства-времени
ЗАДАЧИ
35.1. (14) Докажите с помощью геодезического квадрата, что кривизна (как мы ее определили в этом разделе) поверхности цилиндра равна нулю.
35.2. (16) Сделайте то же самое, что и в задаче 35.1, для конуса.
35.3. (25) Что можно сказать по поводу вершины конуса в задаче 35.2?
35.4. (12) Верно ли утверждение, что наибольшее значение тензора Римана для Солнечной системы достигается на Земле?
35.5. (33) Постройте на сфере геодезический квадрат с вершиной на Северном полюсе.
35.6. (36) Постройте геодезический квадрат на псевдосфере с метрикой
&=R2(dx2+ sh2xrf<^2).