Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Полуклассический подход
Рис. ЗЗ.Х
Пространственно-временная диаграмма для гребней выбранного наугад цуга волн.
Рис. 33.2
Касательное пространство в точке А.
Рис. 33.3
Касательное пространство в точке В.
Рис. 33.4 272
Гл. III. Гравитация
[Для лучшего понимания описан-ных здесь геометрических построений полезно еще раз обратиться к рис. 26.7.]
Построение Гюйгенса
Рис. 33.5
Построение фронта волны с помощью принципа Гюйгенса.
бой локальные аппроксимации рассматриваемого многообразия, их можно нанести прямо на само многообразие, что и сделано на рис. 33.4.
Построение Гюйгенса в некотором смысле обратно предыдущему. Его начинают с единственного заданного фронта волны. Чтобы построить следующий волновой фронт, нужно начертить волновые диаграммы для точек, лежащих на первом фронте, и провести их огибающую (рис. 33.5). Эта огибающая и будет новым фронтом волны. Чаще всего такое построение будет использоваться в ситуациях, когда имеется лишь минимальная косвенная информация. Если волновые пакеты олицетворяют собой частицы, то они не должны быть слишком растянутыми. Рассмотрим на рис. 33.6 только два близких события. Начнем с события А и проходящего через него гребня волны, помеченного на рисунке номером 1. Выберем на этом гребне близкое событие А' и начертим для каждого из них волновую диаграмму. Новый гребень волны, который мы обозначим
Рис. ЗЗ.б
Применение принципа Гюйгенса на малых расстояниях. 33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко
273
номером 2, согласно нашему определению, представляет собой общую касательную к этим двум диаграммам. Теперь можно построить вектор групповой скорости V и найти положение следующего события В на мировой линии волнового пакета. В результате в В мы будем иметь ту же информацию, что и в А; следовательно, процедуру построения можно продолжить. Принципу Гюйгенса соответствует предельный процесс такого построения: событие А' следует выбрать столь близко к А, чтобы результат построения нового гребня не зависел от того, насколько тесно расположены эти события.
B общем случае при таком построении меняется направление вектора групповой скорости волнового пакета. Но измене- Ускорение ние скорости означает, что у пакета есть ускорение. Таким образом, мы нашли способ описания динамики волновых пакетов, с помощью которого можно показать, что ускорение волновых пакетов в искривленном пространстве-времени вблизи Земли действительно представляет собой знакомое нам ускорение свободного падения. Но сначала испытаем свои силы на другом хорошо знакомом примере.
Пример
Попытаемся объяснить миражи. Дисперсионное уравнение для Искривление лучей света света, распространяющегося в среде с показателем преломления, зависящим от пространственных координат, и соответствующий градиент фазы имеют вид
Это ковекторное уравнение определяет величины к х, к у, к z и ш. Показатель преломления п может зависеть от х, у, z и ш. Если вы изучали оптику, то, возможно, знаете, как выводится это уравнение. (В противном случае его следует принять как вполне разумную исходную посылку.) Кроме того, договоримся, что в дальнейшем речь будет идти только о монохроматическом свете. Настоящий мираж — это смесь множества цветов. Он может иметь окраску, как в случае зеленого луча а
'> Зеленый луч — вспышка зеленого света над диском Солнца при его заходе, наблюдаемая в течение нескольких секунд в момент исчезновения верхнего края солнечного диска за горизонтом. Это явление объясняется рефракцией солнечных лучей в верхних слоях атмосферы. См. МиннартМ. Свет и цвет в природе. — M.: Физматгиз, 1959. — Прим. ред.
к/ + ку2 + Jk22 = W2W2, de = kxdx + ку dy + kzdz + o) dt.
(33.2)
(33.3)
18-649 274
Гл. III. Гравитация
[Проверьте это утверждение; см, задачу 15.1.]
может и не иметь. Частота монохроматического света ш всюду одинакова, даже если показатель преломления меняется от точки к точке. Следует также иметь в виду, что зависимость от времени решений линейного уравнения с коэффициентами, которые не являются функциями времени, может быть перенесена в показатели экспонент.
Так как с течением времени ничего нового не происходит, мы забудем о времени и рассмотрим только пространственный аспект нашей задачи. В результате получится усеченная задача, сходная по своей структуре с уже обсуждавшимися нами задачами о распространении волн, но в данном случае о распространении в пространстве, а не в пространстве-времени. Такой усеченной задаче соответствует дисперсионное уравнение
кх2 + ки2 + к2 = ?, (33.4)
где постоянная X — это длина волны в вакууме. Проанализируем уравнение (33.4) в двух пространственных измерениях. Из него следует, что волновая диаграмма представляет собой окружность с радиусом, пропорциональным (л/Х). Мираж возникает, когда вследствие более интенсивного прогревания и соответствующего расширения воздуха вблизи поверхности земли уменьшается его показатель преломления. С помощью волновых диаграмм эта ситуация изображена на рис. 33.7. Используя принцип Гюйгенса, можно показать, что лучи света, представляющие собой траектории волновых пакетов, в данном случае должны отклоняться вверх. Это хорошо видно из рис. 33.8. В силу такого искривления лучей человек, смотрящий вдаль, фактически увидит свет, пришедший с неба; ему будет казаться, что свет отразился от поверхности воды. Мираж такого типа хорошо знаком водителям автомобилей.
