Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 93

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 139 >> Следующая


Воспользуемся теперь нашим геометрическим подходом, чтобы удостовериться в том, что в пространстве-времени с метрикой (33.1) ньютоново яблоко действительно будет падать и что входящий в эту формулу параметр т представляет собой массу притягивающего тела. На самом деле мы собираемся показать лишь, что падают отдельные частицы. Вопрос же о падении составного тела требует дополнительного обсуждения. Массы падающих тел, которые мы здесь будем рассматривать, предполагаются столь малыми, что они не влияют на гравитационное поле. Кроме того, такие малые массы (их называют пробными телами) не должны влиять и друг на друга. Соглас- 33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко

OTejmrepamffpa ниже Плотность damuie

О Температура выше Плотность меньше

Поверхность земли

Рис. 33.7

Волновые диаграммы для света, распространяющегося над нагретой поверхностью (масштаб сильно преувеличен).

Рис. 33.8

Использование принципа Гюйгенса для определения наклона гребней волны.

но проведенным ниже расчетам, все пробные частицы падают с одинаковыми ускорениями, а значит и составное тело, построенное из таких частиц, будет падать с тем же ускорением. Сейчас мы постараемся записать наши геометрические рассуждения в виде алгебраических соотношений.

Вверх

18* 276

Гл. III. Гравитация

Локальные свойства пространства-времени

[Напомню, что у численно большей 1-формы линии уровня расположены ближе друг к другу и наоборот.]

Размер лаборатории диктует характер приближения

Начнем с изучения локального поведения волновых диаграмм для пространства-времени с метрикой (33.1). Будем рассматривать только радиальное движение, не обращая внимания на угловые координаты. В этом случае нам понадобится лишь часть исходной метрики, а именно

9 = ~{\~)dt* + (l+?f)dr\ (33.5)

Эта метрика определяет вид волновой диаграммы, описывающей волновые пакеты. По мере перемещения вдоль радиуса волновые диаграммы претерпевают определенные изменения, которые легко изобразить схематически, если уяснить, что единичные 1-формы



дуальны единичным векторам

И)тг ('

т\д_ г)дг

(33.6)

(33.7)

(здесь опущены члены, квадратичные по т/г). При удалении от начала координат вдоль радиуса радиальный вектор растягивается, а времениподобный вектор сокращается. 1-формы ведут себя аналогичным образом. Все это показано на рис. 33.9. Теперь метрику (33.6) можно переписать через единичные 1-формы (33.7):



dt +

(33.8)

Соответствующая метрическая фигура изображена на рис. 33.10.

B лабораторном эксперименте с «установкой», имеющей размер в несколько метров, величина г в пределах рассматриваемой области пространства меняется очень мало, что позволяет еще сильнее упростить наши расчеты. Пусть в точке, соответствующей на рис. 33.6 событию А, единичные 1-формы (33.6) имеют вид

-Jr) A, (l+Jr)</r, (33.9) 33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко

277

о



НтН//

Рис. 33.9

1-формы [1 + (m/r)]ar и [1 - (m/r)]dt и векторы [1 — (т/г)](д/дг), [1 + (т/г)](Э/д1). Масштабы по осям координат выбраны так, чтобы левая фигура была квадратом. Отклонение формы правой фигуры от квадратной сильно преувеличено.

V t ' / / / / / / / / / ' л .
\ \ \ ч ч \ \ / / / / / / \ , (1+7>*
О-т)" t

Рис. 33.10

Метрическая фигура и мировые линии световых сигналов на волновой диаграмме, выполненной с помощью единичных 1-форм.

Рис. 33.11

Линейное изменение метрики в радиальном направлении.

где R — некоторое исходное значение радиуса. В точке с радиусом

r = R + H, (33.10)

где H<R, соответствующей близкому событию В, единичные 1-формы (33.6) с помощью биномиального разложения можно записать в виде

Нам нужно найти ускорение, т.е. линейную часть приращения скорости со временем. Следовательно, чтобы вычислить ускорение, все расчеты требуется выполнять лишь с точностью до членов, линейных по Н. Сказанное схематически представлено на рис. 33.11.

[Еще раз обратите внимание на обратную зависимость между размером изображения и величиной 1-формы.] 278

Гл. III. Гравитация

Рис. 33.12.

Ускорение волнового пакета в пространстве-времени, представленном на рис. 33.11.

Движение волнового пакета

Чтобы узнать, что произойдет с волновым пакетом в рассматриваемом пространстве-времени, воспользуемся геометрическим построением. Обсудим только простой случай, когда волновой пакет начинает движение из состояния покоя. Один гребень волны такого пакета должен располагаться на диаграмме совершенно горизонтально. Тогда следующий гребень будет касательной к волновым диаграммам, связанным с событиями А и В и расположенным на предыдущем гребне, как показано на рис. 33.12.

Не представляет особого труда рассчитать положение нового гребня в пространстве-времени. Вспомним, что

Наклон гребней волны

[Заметьте, что H не входит в эту формулу. Именно это мы подразумевали на стр. 273 под словами: «. . . событие А' следует выбрать столь близко к А, чтобы результат ... не зависел от того, насколько тесно расположены эти события».]
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed