Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1
Построим геодезический квадрат на поверхности сферы, где геодезические — это знакомые нам большие круги. Для простоты разместим квадрат, как на рис. 35.3, расположив одну его сторону на экваторе, а две других на меридианах. Чтобы найти положение четвертой стороны, нужно проделать кое-какие расчеты.
Введем на сфере те же координаты (X, ф), что и в разд. 34. В таких координатах три заданные стороны квадрата представляют собой следующие параметризованные кривые:
AB: S ^ (A,*) = (o,j0,
(И-
(--)
AC: S >-»
BD:
(35.1)
(35.2)
(35.3)
где размеры квадрата (в действительности прямоугольника) определяются длинами отрезков а и b и величиной R, характеризующей размер сферы. Мы будем рассматривать только малые фигуры, для которых a,b < R. Параметр s, входящий в уравнения для всех трех кривых, представляет собой длину дуги.
Чтобы завершить построение квадрата, нужно найти четвертую сторону CD'. Дифференциальные уравнения, описывающие эту кривую, получены в примере в разд. 34:
dk ds
J_ R2'
ёф _ cos X0 ds ~ R Cos2X'
dl _ cos2 X0 sin X ds cos3 X
[Поскольку мы собираемся показать, что никакого геодезического квадрата в полном смысле этого слова не существует, вам было бы полезно вернуться назад и поразмышлять о внутренней непротиворечивости этого шага.]
[Мы проведем этот расчет самым простым способом, что называется «в лоб». Более эффективные методы вычислений столь сложны, что могли бы привести неискушенного читателя в замешательство.]
Рис. 35.3
Геодезический квадрат, построенный на поверхности сферы.
(35.4)
(35.5)
(35.6) 294
Гл. III. Гравитация
[Теперь видно, что мы правильно поступили, выбрав прямоугольник, а не квадрат. С прямоугольником легче работать.]
Начальные условия имеют вид
X - b
I0 = O, (35.7)
Фо = 0.
Так как нам нужен лишь короткий отрезок кривой, будем искать решение в виде ряда по степеням параметра s:
А. =+ C1S2, (35.8)
ф = C2S + C3S2, (35.9)
I = C4S, (35.10)
где С . — Коэффициенты, подлежащие определению из предыдущих уравнений. Искомые отклонения углов X и ф должны содержать члены типа ab 2 и а 2Ь, но не а 3 и b 3, ибо последние не исчезали бы одновременно даже при сплющивании прямоугольника вдоль любой из сторон до нулевой площади.
Значения коэффициентов С получим, выполнив стандартную процедуру подстановки выражений (35.8) — (35.10) в уравнения (35.4) — (35.6) и приравняв члены одинакового порядка малости. Кривую CD' можно записать в следующей параметрической форме:
Отсюда видно, что точка D' имеет координаты
Рассчитанный геодезический квадрат изображен на рис. 35.4. Концы DkD' «проскакивают» мимо друг друга на расстояние, пропорциональное кубу размера квадрата, а угловой перекос между этими концами пропорционален его площади.
Описание перекоса Как описать кривизну пространства-времени математиче-
ски? Величина перекоса квадрата является линейной функцией длин его сторон. Если задать некоторое направление и поставить ему в соответствие вектор, поворот которого можно было бы рассматривать как меру перекоса, то изменение этого вектора должно быть связано с его длиной тоже линейной за- 35. Кривизна пространства-времени
295
Л
о
с
ь
а
А
в
Ф
Рис. 35.4
Геодезический квадрат в координатах (X, ф).
висимостью. Следовательно, должен существовать линейный оператор, тензор, отображающий три вектора на четвертый. Доказательство существования такого оператора и того, что он представляет собой тензор, выходит за пределы наших возможностей, но тем не менее так оно и есть. Обозначим векторы, направленные вдоль сторон квадрата, Л ' и S а вектор, поворот которого мы собираемся измерять, і; Тогда изменение 8 вектора г;^ при его параллельном переносе вдоль всех сторон квадрата будет определяться формулой
6м = R^va7TjvAa B1.
(35.13) Тензор кривизны
Л
S
ах
Параллельный перенос касательного вектора вдоль всех сторон геодезического квадрата. 296
Гл. III. Гравитация
[Теперь становится понятно, почему мы сделали стороны прямыми, а не закругленными, — так легче сохранить информацию об ориентации.]
[Этот способ вычисления компонент тензора кривизны годится только для симметрических пространств размерности симметрии больше двух. Общий случай рассматривается в книгах, рассчитанных на более подготовленного читателя.]
Коэффициенты R *. гат — это компоненты тензора кривизны или, как его называют, тензора Римана.
Пример 2
Вернемся к нашему геодезическому квадрату на поверхности сферы и проследим за изменением вектора д/дф. Этот вектор направлен вдоль верхней и нижней сторон квадрата и под прямыми углами к его боковым сторонам (рис. 35.5). Мерой поворота этого вектора в результате параллельного переноса вдоль всех сторон квадрата следует считать показанный на рисунке вектор разности 8. Угол между исходным вектором в точке D и результирующим вектором в точке D' равен ab/R 2; следовательно, вектор разности 8 имеет вид
0 R2dk~
В соответствии с формулой (35.13) можно написать
