Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь обсудим замкнутый цикл, схематически представленный на рис. 32.2. Начнем с состояния I, когда система т возбуждена, a M нет. Пусть M находится выше т. В состоянии 2 нижнее ядро освобождает в виде гамма-кванта энергию
[В этой формуле А — постоянная Планка, численно равная 1,83 • IO-86C2.]
hv = т* — т.
(32.12)
Затем (состояние 3) этот гамма-квант достигает ядра М, но имея уже новую частоту v'. Предположим, что верхнее ядро M способно поглотить новую энергию кванта и перейти в возбуж- 32. Гравитационное красное смещение 269
1 2 3 4 5 6
Рис. 32.2
К выводу формулы для гравитационного красного смещения.
денное состояние с массой M* (состояние 4). Таким образом,
hv'=M*~M. (32.13)
В состоянии 5 мы медленно опускаем возбужденное ядро M*, собирая его гравитационную энергию E down, выделяющуюся при падении
Edown = M*gH, (32.14)
в какой-нибудь коллектор. (Высота обозначена прописной буквой Н, чтобы ее нельзя было спутать с постоянной Планка). B самом низу отберем у М* энергию возбуждения и поднимем M в исходное состояние. Но теперь это ядро стало легче, так что в результате внизу накопится энергия
M + Edown - Eup = (М* - M)gH + hp', (32.15)
где E up — энергия, затрачиваемая на подъем. Энергии, накопленной внизу, должно быть ровно CTOJttKO, чтобы вернуть ядро т в первоначальное возбужденное состояние. B противном случае, используя так или иначе этот цикл, мы могли бы получить неисчерпаемый источник энергии. Следовательно, должно выполняться равенство
hv =hv' (1+gH), (32.16)
откуда
-,= \ +gH. (32.17) 270
Гл. III. Гравитация
Таким образом, мы пришли к тому же результату, что и раньше.
Отсюда следует вывод, что всякая теория, в которой выполняются принцип эквивалентности инерциальной и гравитационной масс и локальный закон сохранения энергии, должна давать правильное описание гравитационного сдвига частоты. Такой вывод может либо разочаровать, если вы расчитывали получить подтверждение ОТО как единственно правильной теории тяготения, либо ободрить, если вам нужна формула, описывающая сдвиг частоты, но вы не испытываете уверенности в справедливости общей теории относительности. Пока не существует никаких практических применений гравитационного сдвига частоты, в нас, естественно, преобладает чувство разочарования.
ЗАДАЧИ
32.1. (15) Докажите, что не существует гравитационного красного смещения между часами, расположенными в разных местах, но на одном и том же расстоянии от центра Земли.
32.2. (11) Найдите гравитационное красное смещение для часов, расположенных не на одной вертикальной прямой.
32.3. (33) Рассчитайте влияние вращения на лабораторный эксперимент, связанный с исследованием красного смещения.
32.4. (31) Рассчитайте гравитационное красное смещение с помощью точной метрики, приведенной в разд. 30. При этом величину (т/г) не следует считать малой.
32.5. (27) Объясните, как с помощью волновой диаграммы рассчитать доплеровское смещение для обычных диспергирующих волн, таких, как волны на воде или волны упругой деформации. Вместо введенных в разд. 28 встроенных часов воспользуйтесь обычными часами.
33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко
Теперь мы готовы показать, что искривленное пространство-время с метрикой
9 = JT+ ^ (dr*+dt*) (33.1)
Гравитация — это притяжение (где — метрика Минковского) описывает тяготение. Собственно, нам следует показать, что в таком пространстве-
Красное смещение как следствие сохранения энергии 33. Принцип Гюйгенса и падающее яблоко
271
времени ускорения всех свободных тел направлены вниз. Сделаем это, опираясь на геометрический подход. Помимо доказательства падения тел такой подход позволит убедиться, что параметр т в (33.1) действительно представляет собой гравитационную массу притягивающего тела. Кроме того, будет показано, что любая теория тяготения, основанная на представлениях о волнах и волновых пакетах, приводит к гравитационному смещению частоты, совпадающему с только что описанным.
Назовем геометрический способ описания движения волновых пакетов принципом Гюйгенса, несмотря на то что они несколько отличаются друг от друга. Кроме того, ограничимся изучением высокочастотного предела, тогда как принцип Гюйгенса был предложен для обсуждения самого общего случая. Если речь идет об электронах, то высокочастотный предел означает, что гравитационное поле не должно быстро меняться на расстояниях порядка комптоновской длины волны (3 • 10 _11 см); такое условие заведомо выполняется. У более тяжелых частиц комптоновская длина волны еще меньше.
Движение волнового пакета считается заданным, если в каждой точке известны вид волновой диаграммы или дисперсионное уравнение. Геометрический способ описания движения основан на применении волновой диаграммы. Предположим, что в каждой точке известна фаза волны. Чтобы 1-форма градиента фазы была решением исходного дифференциального уравнения в частных производных, она должна в каждой точке касаться волновой диаграммы. Такая фазовая функция изображена на рис. 33.1, а на рис. 33.2 и 33.3 показаны волновые диаграммы и градиенты фазы для событий А и В. Поскольку касательные пространства на рис. 33.2 и 33.3 представляют со-
