Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
33.7. (18) Какое ускорение показано на рис. 33.12, если диаграмма метрики соответствует интервалу времени IO-9 с?
33.8. (04) Куда направлен поток энергии на рис. 33.8?
33.9. (26) Исследуйте геодезические в верхней полуплоскости, т.е. на той части плоскости х, у, где у > 0, если метрические фигуры представляют собой окружности радиусом у.
34. Геодезические
Каждое пространство-время, используемое далее в космологических моделях, столь симметрично, что мы сможем найти мировые линии интересующих нас частиц, опираясь лишь на критерии симметрии и на представление о динамике волнового пакета, составленное с помощью принципа Гюйгенса. Дать описание мировых линий свободных частиц даже в произвольном пространстве-времени настолько просто, что не уделить ему внимание было бы по крайней мере неразумно. Кроме того, ниже с эвристических позиций будет доказано, что мировые линии свободных частиц должны удовлетворять принципу минимальности. Именно по этой причине их называют геодезиче-
SaePaPe + & = 0.
[Здесь величина Ь пропорциональна массе частицы.] 282
Гл. III. Гравитация
скими, т.е. кривыми наименьшей длины1'. Мы увидим, что уравнения для геодезических, являющиеся аналогами уравнений Гамильтона в классической механике, представляют собой естественное следствие нашего полуклассического подхода.
Частица в неоднородном гравитационном поле описывается дисперсионным уравнением
Дисперсионное уравнение SatiPaPe =—^2- (34.1)
Здесь и далее для удобства и для выработки у читателя практических навыков работы с такой формой записи используются индексные обозначения и правило суммирования по немым индексам. Величины ра — это компоненты градиента фазы
de = padx", (34.2)
a — компоненты тензора, обратного ga? и удовлетворяющего по определению соотношению
BTga, = S?, (34.3)
где ga? — компоненты метрического тензора
Й? = g^x» ® dx". (34.4)
Как ра, так и gмогут зависеть от положения в пространстве-времени. Постоянная b зависит от массы частицы и, очевидно, выпадает во всех вычислениях, связанных с выполнением операции дифференцирования. В оставшейся части этого раздела будем для простоты считать, что b = 1, поскольку, как уже было сказано, движение свободных частиц не зависит от их массы.
Пространственные геодезические
Пример 1
Сформулируем задачу об отыскании геодезических на поверхности сферы. С точностью до изменения нескольких знаков она совершенно аналогична задаче поиска мировых линий волновых пакетов в пространстве-времени. Метрика на поверхности
'' Определения геодезической линии в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный элемент, линейная связность) лежат в основе геометрии рассматриваемого пространства. Определение автора соответствует случаю, когда метрика задана априори. — Прим. ред. 34. Геодезические
283
сферы имеет вид
<g = R2{dk2 +Cos2 kd<t>2), (34.5)
где вместо обычной сферической координаты в, которая измеряется от Северного полюса, используется координата X — широта, измеряемая от экватора. Для этой метрики
Sxx = RK
8фф = R2 COS2X, (34.6)
8кф = 8ФХ = О,
а
H Л2>
=_!_ (34-7)
н R2 Cos2X'
Sk* = g^ = 0.
Обозначим компоненты градиента фазы буквами / и и:
P = Idk + ndfc (34.8)
тогда
рК = 1,рф = п. (34.9)
Следовательно, дисперсионное уравнение можно записать в форме
. , 2 , [Этот пример будет продолжен
-1/2 ---—J = J (34.10) после того, как мы несколько
R V COS X/ разовьем общую теорию.]
Поскольку р — градиент, т.е.
= дв
Р" QxB' (34.11) Групповая скорость
должно выполняться условие симметрии его производных
дРш=др& (3412)
дх^дх»
Примем во внимание, что р а и g a^ — функции положения, и применим к дисперсионному уравнению (34.1) операцию градиента; тогда получим
+ 2e-fbA = 0. (34.13)
Отсюда после соответствующей замены частных производных 284
Гл. III. Гравитация
следует
[Производные по направлению обсуждались на стр. 139.]
^ (~g*P?) - 2 ^ PaP?.
(34.14)
Левая часть этого равенства представляет собой производную величин ра по направлению
[Напомним, что постоянная Ь была положена равной единице.]
Уравнение изменения групповой 4-скорости
V = Sa0Pff
дх"'
(34.15)
которое мы договорились считать направлением вектора групповой 4-скорости. Согласно дисперсионному уравнению,
PaVa= 1,
(34.16)
так что групповая 4-скорость уже имеет должную нормировку. Вектор V определяет в пространстве-времени кривые, которые являются мировыми линиями наших волновых пакетов. Если представать эти мировые линии в виде отображения
5 "-^Are(S), то должны выполняться равенства dXa
ds
= U« = -OaI3
л.
(34.17)
(34.18)
Таким образом, полученное выше уравнение для р а определяет производную от этих величин вдоль линий (34.17):
dPa _ 1 dg^
ds 2 дха
P?Py.
(34.19)
Вместе уравнения (34.18) и (34.19) образуют систему восьми обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающую мировые линии волновых пакетов.
