Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
9 • (о-,о-) = 0, (32.3)
Отсюда получается обыкновенное дифференциальное уравнение
dR = _ 2т du г
(32.4)
Его решения точно определяют мировую линию светового сигнала. Обратите внимание, что симметрия по отношению к сдвигу во времени остается в силе: если R (u) — любое решение уравнения (32.4), то и R (и — U0) — тоже решение этого уравнения при любом фиксированном значении и0. Это показано на рис. 32.1. Векторное поле d/dt переводит одну мировую линию светового сигнала в другую. Так как использованная здесь координата t имеет непосредственное отношение к симметрии сдвига во времени, координатный интервал At между двумя мировыми линиями световых сигналов постоянен.
Фактически, после того как мы выяснили, что координатный интервал между мировыми линиями двух световых сигналов постоянен, нам больше не нужна никакая дополнительная информация о мировых линиях. Интервал собственного времени At, измеренный наблюдателем, покоящимся в точке, где радиус равен г, и соответствующий координатному интервалу At, определяется формулой
(AT)2 = -
аг
а-о-т)
(Ar)2. (32.5) 32. Гравитационное красное смещение 267
Различные наблюдатели, расположенные в точках гиг', обнаружат, что отношение скоростей хода их часов равно
At' _
Ar ' + г г"
(32.6)
В лабораторных экспериментах гнг' почти совпадают. Если записать
г' = г+Н, (32.7)
где разность уровней H удовлетворяет неравенству
H « г, (32.8)
то предыдущее выражение можно заменить приближенной формулой
At
тН
В следующем разделе мы узнаем, что т — это не что иное, как масса гравитирующего тела, измеренная в геометрических единицах. Ускорение свободного падения
т г1
теперь равно величине, обратной времени, необходимому, чтобы тело, двигаясь с таким ускорением, достигло скорости, сравнимой со скоростью света, а его единица измерения — (секунда) Ускорение свободного падения на поверхности Земли — это (примерно) год Теперь сдвиг частоты можно представить в виде
Ar'
At
= 1 -gH.
Лабораторные эксперименты
(32.9)
[По поводу этих единиц см. табл. 30.1. Масса Земли равиа 1,48 • Ю-"с.]
(32.10)
(32.11)
При разности уровней H порядка 9 м, типичной для лабораторного эксперимента, произведение gH примерно равно Ю-15. Как мы видим, этот эксперимент осуществить не просто!
Тем не менее такой эксперимент был поставлен. Роль световых сигналов в нем играли отдельные гребни волн гамма-излучения, испущенного при распаде ядра атома, а для сравнения частот использовался эффект Мессбауэра. Наблюдавшийся сдвиг частоты совпал с предсказаниями ОТО с точностью около 1%, равной точности эксперимента. (В действительности сначала был получен результат, который плохо согласовывался с теорией. Но затем было учтено замедление хода «встроен-
[Неплохой геометрической единицей является фут. Он равен приблизительно Ю-9 световых секунд.]
Реальный эксперимент 268
Гл. III. Гравитация
Следствия
Сохранение энергии
Гравитационная машина
[Здесь используется спецреляти-вистское соотношение между массой и энергией. Предполагается, что оно верно как для инертной, так и для гравитационной масс. В некоторых теориях тяготения наш подход считается неприемлемым.]
иых» в ядра часов, обусловленное их тепловым движением, что потребовало тщательного контроля за этим эффектом и внесения соответствующих поправок. Таким образом, был обнаружен не просто парадокс близнецов для ядерных часов, а сторонний эффект, который следовало учесть в других экспериментах.)
Приятно сознавать, что результаты эксперимента согласуются с предсказаниями. Но можно ли на основании этого факта самого по себе считать ОТО единственно правильной теорией тяготения? Конечно, нет. Ведь может оказаться, что имеются конкурирующие теории, которые предсказывают точно такое же гравитационное красное смешение. Поскольку мы не располагаем всеми возможными теориями тяготения, остается лишь тщательно проанализировать, насколько наш вывод зависит от деталей, присущих именно ОТО. К сожалению, оказывается, что не очень сильно. Мы рассмотрим еще два способа вывода формулы гравитационного красного смещения, в которых несколько сокращено число исходных предположений. В результате выяснится, что почти любая теория тяготения предсказывает один и тот же сдвиг частоты.
Для вывода формулы гравитационного красного смещения вполне достаточно закона сохранения энергии. Мы не доказывали, что этот закон выполняеся в ОТО. В расширяющейся модели Вселенной вопрос о сохранении энергии на самом деле оказался очень сложным. Но в статическом пространстве-времени, с которым мы здесь имеем дело, никаких проблем не возникает.
Рассмотрим две небольшие системы, каждая из которых способна накапливать энергию и излучать световые сигналы. При желании эти системы можно считать атомными ядрами с массами Мит; тогда роль световых сигналов будут играть гамма-лучи. Каждая система должна быть способна поглощать гамма-излучение; в результате перехода в возбужденное состояние массы системы будут возрастать; обозначим их М* и т*.
