Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Для упрощения квадратного корня мы здесь снова воспользовались теоремой о разложении в биномиальный ряд. Вектор а, описывающий мировую линию светового сигнала с момента излучения до события, происшедшего спустя время At, должен удовлетворять двум условиям:
Другая точка зрения на кривизну
I А Дг—> Hadmodamem В
Г\ / L / / / / / t E
V г
Рис. 31.1
Прямая L одновременных событий, которые неподвижный наблюдатель видит через промежуток собственного времени Ar после события Е. Мировые линии двух радиальных световых сигналов пересекают эту прямую в точках А и В. Обратите внимание, что начало отсчета радиальной координаты находится вне нашего поля зрения.
оз ¦ (а) = 1,
tS ¦ (а,а) = 0.
(31.15)
(31.14)
Пусть
О-= AfI-+ дД
дг'
(31.16)
тогда, согласно этим условиям, получаем
(31.17) 262
Гл. III. Гравитация
[Это еще один пример, показывающий, почему 1-форму dr следует отличать от малого приращения координаты Дл]
Световые сигналы
откуда следует, что
18)
(31.19)
Не составляет особого труда повторить это рассуждение для случая, когда имеется еще одно пространственное измерение. Будем рассматривать экваториальную плоскость в = тг/2, а ф используем в качестве добавочной пространственной координаты. События, соответствующие приходу световых сигналов через время At после их испускания, теперь определяются вектором
• Э , . 9 . . , д о- = At—+ Дг—+Дф-гт dt дг дф
с компонентами, удовлетворяющими условиям
(і-^)(Д/)2= (Дт)2, ' I +~j(Ar)2 + ГоЧАф)2 = (At)2.
(31.20)
(31.21)
(31.22)
Рис. 31.2
Пространственное сечение, содержащее одновременные события, которые произошли через время Ar после события Е. Изображенная на рис. 31.1 прямая/, на этом сечении совпадает с осью г, на которой указаны события А и В. Азимутальный масштаб выбран таким образом, чтобы при т — 0 геометрическое место точек, образованных световыми сигналами, испущенными в момент события Е, представляло собой окружность. 31. Пространство-время в окрестности Земли
263
Для наглядности представим полученный результат в графической форме. На рис. 31.2 приведена пространственная диаграмма в двух измерениях, на которой нанесены только события, происшедшие спустя время Дт после события Е. Все события, соответствующие приходу сретовых сигналов, изображаются эллипсом на этой диаграмме. Такой способ описания световых сигналов весьма полезен.
Диаграмме, изображенной на рис. 31.2, можно дать непосредственное физическое истолкование: свет распространяется в рассматриваемом пространстве-времени так, как будто показатель преломления анизотропен. Поскольку расстояния в пространстве-времени измеряются с помощью световых сигналов, анизотропия проявляется и при рассмотрении геометрии и приводит к неевклидовым эффектам, которые мы считаем обусловленными кривизной пространства-времени.
Пример
Взгляните на рис. 31.2 и установите, на какие его особенности указывает уравнение (31.22). Из (31.12) следует, что при неизменных г и t близлежащие концентрические сферы отстоят друг от друга дальше, чем можно ожидать согласно евклидовой геометрии. Как видно из рис. 31.2, сечения метрической фигуры — это эллипсы, сплющенные в радиальном направлении. Однако здесь все согласуется, поскольку наш эталон длины определяется расстоянием, проходимым светом за некоторый стандартный промежуток времени, а уменьшение длины эталона приводило бы к увеличению значения измеряемого расстояния.
Существование симметрии по отношению к сдвигам во времени в значительной мере упростило проведенное в этом разделе обсуждение геометрии пространства-времени в окрестности Земли. Не будь ее, мы не смогли бы отдельно рассматривать геометрию пространственного сечения. В следующем разделе эта симметрия поможет нам упростить обсуждение гравитационного красного смещения.
ЗАДАЧИ
31.1. (14) Докажите, что, согласно нашим определениям, вращающийся диск стационарен, но не статичен. Придумайте такое пространство-время, чтобы оно было стационарным, но не статическим.
[Обратите внимание, как в ходе этого рассуждения мы то и дело переходим от касательных векторов к близким событиям и обратно. Так можно поступать, поскольку определение касательных векторов неразрывно связано с локальным поведением кривых, состоящих из событий. Но все это имеет силу только в пределе Дт — 0.] 264
Гл. III. Гравитация
31.2. (22) Опираясь на идеи, изложенные в этом разделе, покажите, что сфера искривлена, а плоскость нет.
31.3. (18) В примере на стр. 259 вместо длины экватора найдите длину окружности, измеренную вдоль меридиана.
31.4. (25) Оцените точность эксперимента, необходимую для измерения кривизны пространства вблизи поверхности Земли.
31.5. (20) Дайте вывод порядка величины трех первых поправок, указанных на стр. 257.
31.6. (27) Докажите, что метрика
dr2
9 = Ti^ + г2 dd2 1 — г1
описывает геометрию на сфере, но в непривычных координатах. Выясните, в каких пределах может изменяться координата г.
32. Гравитационное красное смещение
