Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 86

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 139 >> Следующая


Особое свойство рассматриваемых волн заключается в том, что

р • (сг) = 0. (30.22)

Последнее соотношение не позволяет построить для световых волн обычную волновую диаграмму, ибо она превращается в луч, выходящий прямо из начала координат. Любая попытка нормировки приводила бы к его вырождению в точку. Этот луч и есть та самая штриховая линия, которой мы договорились изображать мировую линию светового сигнала. Энергия световых волн распространяется с той же скоростью, что и гребень волны. На рис. 30.1 наряду со световыми волновыми пакетами для сравнения изображены обычные волновые пакеты, соответствующие диспергирующим волнам. Так как для света (в пустоте) дисперсия отсутствует, в качестве светового сигнала можно рассматривать либо весь волновой пакет целиком, либо отдельный гребень волны. И тот и другой распространяются с одинаковой скоростью. Именно благодаря этому вполне законна процедура, использованная в разд. 13 для вычисления доплеровского смещения. Там мы вычислили сдвиг частоты, исходя из величины интервала между мировыми линиями двух световых сигналов, что допустимо только для волн, не испытывающих дисперсии. Аналогичную процедуру мы применим в разд. 32 при вычислении сдвига частоты в гравитационном поле Земли и в разд. 40 при расчете сдвига частоты в расширяющейся Вселенной.

ЗАДАЧИ

30.1. (10) Убедитесь в справедливости записанного в геометрических единицах закона Кеплера для системы Земля — Солнце.

30.2. (12) Покажите, что величина массы mg, выраженная в геометрических единицах, связана с массой тк, выраженной в килограммах, формулой

30.3. (23) Евклидова метрика записанная в полярных коорди- 31. Пространство-время в окрестности Земли

257

натах, имеет вид

Г = Clri + г2 dd2.

Это простой пример метрического тензора с зависящими от координат компонентами. Выведите эту формулу, опишите метрику в общих чертах и обсудите ее.

30.4. (28) Покажите, что двумерное пространство (и, v) с метрикой

&=du2-u2dv2

представляет собой не что иное, как пространство с метрикой Icm- задачу 1.5.] Минковского, записанной в непривычных координатах. Воспользуйтесь преобразованием

X = и ch u,

/ = и sh u.

31. Пространство-время в окрестности Земли

В нескольких следующих разделах мы будем изучать внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела, подобного Земле. В результате мы увидим, как искривленное пространство-время в действительности описывает тяготение, узнаем, каков физический смысл кривизны пространства-времени и познакомимся с экспериментом, позволяющим проверить справедливость ОТО.

Метрика вне Земли или любого другого сферически-симметричного тела приближенно определяется выражением

у = -dt2 + dt2 + r*(<№ + sin2 в d<]>2) + Сdt2 + dr2).

(31.1)

На поверхности Земли отличие компонент метрики (31.1) от спецрелятивистских значений составляет около 1 • 10 ~9. Мы пренебрегли здесь многими малыми поправками к этому, уже и так малому члену. К их числу относятся поправки на сплюснутость Земли (погрешность порядка 10 -6), массу атмосферы (около 1 • Ю-15), влияние Солнца и Луны (порядка 1 • IO-17). Кроме того, не учтены квадратичные члены типа (т/г) 2 (погрешность порядка 1 - 10 — 18). Нашей подготовки пока недостаточно для вывода метрики (31.1) из уравнений ОТО. Из него следует, что пространство-время вне любого сферически-симметричного тела заданной массы единственно и не зависит от его внутренней структуры, будь это планета или черная ды-

Метрика пространства-времени

[Здесь намеренно используется приближенное выражение, хотя точное едва ли сложнее. Таким путем я хочу подчеркнуть, что есть много астрофизических поправок, более важных, чем отброшенные члены. Точность решения уравнений общей теории относительности — это бессмысленная точность. Редкое упоминание астрофизических поправок отчасти связано с тем, что общей теорией относительности в основном занимались математики.]

17-649 258

Гл. III. Гравитация

pa. Выражение (31.1) — это упрощенный вариант приведенной в разд. 30 метрики, описывающей пространство-время вне черной дыры, в котором опущены члены (т/г) 2. Интерпретация координат Все, что необходимо для физического истолкования пространства-времени ОТО, содержится в нем самом. Обнаружив незнакомую вам фотографию, вы можете тщательно изучить ее и на основании признаков самой фотографии узнать, где, когда и как она сделана. А что можно сказать о пространстве-времени с метрикой (31.1), если его исследовать в том же духе?

Положив в (31.1) т = 0, мы приходим к рассмотренной в разд. 23 метрике пространства-времени Минковского, записанной в полярных координатах. Таким образом, в отсутствие тела мы имеем пространство-время Минковского.

Доказательство

Покажем, что метрика

Jf = -dt"1 + dx2 + dy2 + dz2, (31.2)

переписанная в полярных координатах Z= r COS в,

X = r sin в cos ф, (31.3)

у = г sin в sin ф,

принимает форму метрики (31.1) с т = 0. Каждая из старых координат (x,y,z) является функцией полярных координат (г, в, ф). Градиенты этих функций представляют собой 1-формы вида
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed