Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 5
Тахионы Тахионы — это гипотетические частицы, описываемые лоренц-инвариантным дисперсионным уравнением, однако их групповая скорость превосходит скорость света. Теперь дисперсион- 29. Взаимодействие волновых пакетов
247
ное уравнение должно иметь вид
2 L3. т
U,2 = P
(29.27)
где W — некоторая константа. Волновая диаграмма таких частиц описывается уравнением
U)2 =W2 +
(29.28)
Рис. 29.14
Волновая диаграмма тахионного волнового пакета в касательном пространстве.
она отображена на рис. 29.14. Соответствующий волновой пакет представлен на рис. 29.15.
Все это напоминает вполне согласованную теорию — обычную теорию частиц, в которой пространство и время поменялись местами. Раз пространство и время входят в теорию симметрично, то может ли здесь что-нибудь быть не так? Существует ли хоть какое-нибудь различие между пространством и временем? Существует, но оно коренится не в уравнениях, а в граничных условиях, ибо вопросы, на которые отвечает наука, формулируются следующим образом: что произойдет, если заданы такие-то и такие-то условия? Такого сорта вопросы выделяют временное направление в качестве направления предсказания. Так что в пространстве-времени есть направление, определяемое вопросами, которые мы задаем, и теми состояниями, к которым мы приходим.
Рис. 29.15
Пространственно-временная диаграмма для волнового пакета, изображенного на рис. 29.14. (Масштаб уменьшен.) 248
Гл. III. Гравитация
Рис. 29.16
Две тахионные моды, связанные с пространственно-периодическим источником с длиной волны X.
Тахионы представляют интерес только в том случае, если они могут взаимодействовать с известными нам физическими полями. Допустим, что в нашем распоряжении оказалось поле, способное взаимодействовать с тахионным полем. Пусть источник в момент времени / = O обладает, для простоты, периодической пространственной конфигурацией. Такой источник, как показано на рис. 29.16 и 29.17, будет связан с отдельной парой тахионов. Пока что все в порядке. Но что произойдет, если длина волны источника возрастет? Это несложно установить. Обратите внимание, что в ситуации, представленной на рис. 29.18, две тахионные моды исчезли. Дело в том, что дисперсионное уравнение имеет вид квадратного уравнения, а частота определяется дисперсионным уравнением (29.27). При малых к это уравнение не имеет действительных решений. Частота становится чисто мнимой. В результате осциллирующий режим сменяется экспоненциальным. Возникает пара экспонент, одна из которых нарастает. Таким образом, тахионная волна неустойчива по отношению к длинноволновым возмущениям. Никому еще не удалось найти средство, позволяющее избавиться от этой неустойчивости. Это смертельный порок теории тахионов, который известен уже довольно давно. Как мне кажется, люди, которые занимаются тахионами, все еще надеются, что рано или поздно будет найден какой-нибудь красивый способ разрешить эту проблему.
Рис. 29.17
Пространственно-временная диаграмма для изображенных на рис. 29.16 двух тахионных волновых пакетов, расходящихся от источника конечной протяженности. Один пакет распространяется влево, а другой вправо. (Масштаб уменьшен.)
Рис. 29.18
По мере увеличения пространственной длины волны тахионные моды исчезают. 29. Взаимодействие волновых пакетов
249
ЗАДАЧИ
29.1. (14) По отношению к каким возмущениям, коротковолновым или длинноволновым, неустойчивы волны, которые описываются волновой диаграммой, изображенной на рис. 29.19? Какова критическая длина волны, разделяющая устойчивые и неустойчивые моды?
29.2. (12) Изобразите распространяющийся вправо волновой пакет, для которого длина волны и волновая диаграмма показаны на рис. 29.20.
29.3. (20) На рис. 29.21 отмечены положения гребней распространяющейся вправо волны в момент времени t = 0. Начертите мировые линии этих гребней, воспользовавшись изображенной на том же рисунке волновой диаграммой.
29.4. (26) Докажите, что из вида уравнения
д2Ф д*ф 2. _
Hi-Jj-M = O сразу следует неустойчивость его длинноволновых решений.
t
ч
2п
Рис. 29.19
Рис. 29.20
29.5. (29) Рассмотрите граничную задачу для обычного волнового уравнения
dt2 дх?
когда функция ф задана на мировой линии х = 0. Это так называемая задача сигнализации. Она выглядит подобно граничной задаче для тахиона, если соответствующую диаграмму по-
Волновая диаграмма
Гребни волн при t=0
Рис. 29.21 250 Гл. III. Гравитация
вернуть на 90°. Почему в данном случае не возникает неустойчивость?
29.6. (31) (Для изучавших электричество и магнетизм.) Опишите с помощью волновых диаграмм возникновение критической частоты волновода.
29.7. (26) В примере 2 настоящего раздела при некоторых скоростях может не быть отраженной волны. Покажите, что условием этого является неравенство
(и + и) < V2и.
29.8. (34) Пусть в примере 2 настоящего раздела движущийся отражатель не только отражает волны, но и частично пропускает их. Докажите, что при некоторых условиях возможны две дополнительные преломленные волны.
