Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
получаем уравнения
? = u>idt + kxdx, щ + vk0 = to, + Vkl,
ki = -W12.
(29.13)
(29.14)
(29.15)
Здесь выбрано отрицательное значение волнового числа Ar1, откуда следует, что отраженная волна распространяется вправо. На рис. 29.7 показано одно из решений этой задачи. Такой
Рис. 29.7
Пространственно-временная диаграмма, на которой показаны падающая и отраженная волны, определенные на рис. 29.6. (Масштаб уменьшен в два раза.)
геометрический подход не позволяет установить, как связаны < I
между собой фазы падающей и отраженной волн, если не счи- Pllc 8
тать, что нужно заранее согласовать их градиенты. Например, Отражение
на рис. 29.8 показана ситуация, в которой фазы волн сдвинуты ным 7г.
16* 244
Гл. III. Гравитация
по отношению друг к другу на фиксированную величину. Чтобы выяснить, какое решение является единственно верным, необходимо подробное исследование исходных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако во многих случаях фаза волны не представляет интереса.
Закон Снеллиуса
[Обратите внимание также на пример в разд. 33.]
\\ У п.
\ \
<\ V X
Рис. 29.9
[Наиболее полно преимущества, которые дает использование операции ограничения на подпространство, проявляются в тех случаях, когда приходится иметь дело с трехмерными или четырехмерными пространствами.]
Взаимодействия
Пример 3
Световые волны в изотропной среде описываются дисперсионным уравнением
к/ + к* = (29.16)
Показатель преломления и является функцией координат. Если п медленно меняется на расстояниях, сравнимых с длиной волны, то траектория волнового пакета определяется на основе принципа Гюйгенса, который нам еще предстоит обсудить в разд. 33. Если же показатель преломления быстро меняется на расстояниях порядка длины волны, то на границе раздела возникает отраженная волна, а проходящая волна резко изменяет направление распространения. Посмотрим, например, что происходит на границе раздела, совпадающей с поверхностью X = 0 на рис. 29.9.
Запишем градиент фазы падающей волны
a = kxdx+ kydy. (29.17)
Введем в эту формулу угол ф], определяющий, как показано на рис. 29.10, направление распространения волны. Тогда получаем
a = n1cos^ldx + n1^ldy (2918)
А л
Соответствующее ограничение 1-формы dx здесь равно нулю, так что падающая и прошедшая волны должны иметь одинаковые значения kv. Таким образом
It1 sin фі = п2 sin ф2, а это знакомый нам закон преломления Снеллиуса.
(29.19)
Существенно, что волновые пакеты могут еще и взаимодействовать между собой. На рис. 29.11 показаны два волновых пакета, проходящих через одну и ту же область пространства-времени. Предположим, что они слабо воздейст- 29. Взаимодействие волновых пакетов
245
У
\
к,
X
должна быть больше там, где велики первичные волны, т.е. в отмеченных на рис. 29.12 точках пересечения гребней обеих волн. Взаимодействие первичных волн приведет к возникновению новой волны только в том случае, если такие точечные источники остаются в фазе с новой волной всюду в пространстве-времени, где перекрываются падающие волны. Волна, совпадающая по фазе с такими точечными источниками, показана на рис. 29.13. Она просто связана с падающими вуют друг на друга. Пусть это взаимодействие настолько слабо, что не разрушает волны, но в то же время достаточно сильно для того, чтобы появились некоторые дополнительные волны. Если интенсивность источника вторичных волн зависит от результата взаимного влияния двух исходных волн, то она
Рис. 29.11
Два перекрывающихся волновых пакета. Прямые представляют гребни волн.
XXX X X X X X XT X X X X X X
X X X X X X X X X X X X
X X X
Рис. 29.12
Крестики соответствуют максимумам при сложении двух волновых полей. Показанные здесь 1-формы представляют собой градиенты фазы, деленные на 2т. 246
Гл. III. Гравитация
волнами. Градиент ее фазы равен сумме градиентов фаз падающих волн.
Сохранение 4-импульса
-^—X X—X—X X X-
-X—XXX—X-
—XXX-
Рис. 29.13
Волновой пакет, который находится в фазе с точечными источниками, показанными на предыдущем рисунке. Градиент фазы этого пакета равен сумме 1-форм градиентов фаз распространяющихся волн.
[Обратите внимание, что сила и импульс всегда появляются в виде 1-форм.]
Пример 4
Волновые пакеты частиц в пространстве-времени описываются дисперсионным уравнением
0,2 = ** + fr> <29-20>
где т — масса частицы. Соответствующая волновая диаграмма определяется уравнениями
• 2а>й2
* W2 '
(29.21)
_ Ikh2 т2 '
откуда следует, что скорость волнового пакета равна
u = (29.22)
к
В рассматриваемом случае связь между градиентом фазы и спецрелятивистским 4-импульсом по определению имеет вид
E = Дш, (29.23)
p = -hk. (2 9-24)
Из нашего правила суммирования градиентов фаз при наличии взаимодействия волновых пакетов следует, что
E1+E2 = E3, (29-25)
P1+P2 = р3. (29-26)
Эти соотношения представляют собой использованный в разд. 14 закон сохранения полного 4-импульса. Подобные законы сохранения можно написать для любых волновых полей.
