Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Пример
Рассмотрим наблюдателя, движущегося вправо со скоростью v. Волновая диаграмма для волн, распространяющихся вправо., описывается формулой
i2 = 4х,
(28.4)
или в параметрической форме
(28.5)
где к — волновое число (в данном случае отрицательное). Вол-28. Теория относительности и волны на воде 227
новому числу к соответствует скорость
(28.6)
Таким образом, вектор групповой 4-скорости, соответствующий скорости V, можно представить в виде
X = 4и2,
(28.7)
i = 4v.
Наблюдатель, движущийся вместе с волнами, обнаружит, что новые гребни волны проходят мимо него через промежутки времени
_ ^nv ^g gj [Снова эти надоевшие 2т; см.
разд. 19.]
Обратите внимание на рис. 28.4. На нем помимо всего прочего показан градиент фазы рассматриваемой волны
de = ^-dt-^-2dx. (28.9)
2v 4tr
Чтобы завершить перечень первичных понятий, необходимо ввести специальный класс волн, который можно было бы назвать «световые сигналы». В качестве такого класса волн мы Световые сигналы выберем рябь. Теперь у нас есть набор первичных элементов, сходный с набором элементов, заложенных в основу фундамен-
t
Рис. 28.4
Более подробное изображение волнового пакета, обладающего групповой скоростью v. Обратите внимание, что гребни волн движутся в два раза быстрее самого волнового пакета.
15'228
Гл. III. Гравитация
тальной структуры пространства-времени. Таким образом, распространение волн на воде дает нам еще одну реализацию интересующей нас абстрактной структуры.
Перевод терминов, описывающих волны на воде, на язык теории пространства-времени: волновой пакет, образованный волнами на воде — свободная частица; колебания поверхности воды, вызванные волнами, движущимися со скоростью, равной скорости наблюдателя — часы; система обычных координат (x,t)— инерциальная система отсчета; рябь — световые сигналы.
Ииерциальные системы отсчета
Канонические системы отсчета
[Здесь стоит вернуться к разд. 6, где обсуждалась каноническая система отсчета в СТО.]
Поскольку наблюдатель движется с отличной от нуля скоростью, эти первичные элементы удовлетворяют всем постулатам, касающимся структуры пространства-времени, за исключением того, что вместо световых сигналов, распространяющихся как влево, так и вправо, теперь имеется единственная система волн ряби.
Обычная система координат (x,t) образует инерциальную систему отсчета. Что можно сказать о канонической системе отсчета? Какие линейные преобразования должен выполнить данный наблюдатель, чтобы упростить волновую диаграмму? Предположим, что проделанных им наблюдений достаточно для построения полной волновой диаграммы. В двумерном случае линейное преобразование обладает четырьмя степенями свободы. Рассмотрим процедуру преобразования к канонической системе отсчета, основанную на выполнении последовательности из четырех простых преобразований, упрощающих волновую диаграмму данного наблюдателя.
Будем считать теперь, что наблюдатель не движется, а покоится по отношению к волнам ряби.
На рис. 28.5 показана исходная ситуация, которую увидит такой наблюдатель. Обсудим преобразование к канонической системе отсчета именно этой диаграммы. Первое требование к канонической форме волновой диаграммы заключается в том, что мы должны перейти к системе отсчета, в которой наблюдатель покоится, т. е. к системе отсчета, где его мировая линия вертикальна, как на рис. 28.6. Второе требование к каноническому представлению сводится к выбору шкалы времени, приспособленной к ходу встроенных часов. Так, на рис. 28.7 точка пересечения волновой диаграммы с вертикальной осью28. Теория относительности и волны на воде
229
Мировая линия наблюдателя
Рис. 28.5
Волновая диаграмма и мировая линия наблюдателя, движущегося со скоростью 1/2.
соответствует единице времени. Далее, нужно добиться, чтобы волновая диаграмма пересекала вертикальную ось под прямым углом, как на рис. 28.8, — в этом состоит третье упрощение. Наконец, можно выбрать на горизонтальной оси такой масштаб, чтобы мировая линия для ряби шла под углом в 45°, как на рис. 28.9. Все эти диаграммы — эквивалентные представления волн на глубокой воде. Достоинства только что введенных упрощений проявятся в полной мере, когда мы перейдем к обсуждению симметрии волн на воде.
Рис. 28.6
В результате горизонтального сдвига мировая линия наблюдателя становится вертикальной.
Рис. 28.7
В результате растяжения вертикальной шкалы единичный пространственный интервал становится равным интервалу между началом координат и точкой пересечения волновой диаграммы с мировой линией наблюдателя.230 Гл. III. Гравитация
Рис. 28.8 Рис. 28.9
В результате вертикального сдвига в результате горизонтального
угол между волновой диаграммой сжатия угол наклона мировой ли-
и мировой линией наблюдателя нии ряби становится равным 45°. становится прямым.
Пример
Рассмотренные выше рисунки соответствуют точке зрения наблюдателя, движущегося со скоростью V = 1/2 в используемых безразмерных единицах. Первое из примененных нами преобразований — это сдвиг: