Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
а из (28.27), что
откуда
?* = v* = 4 U21 —4и2 + Ivt;' = О,
(28.29)
(28.30)
(28.31)
f = 2v.
Итак, новый базис связан со старым соотношениями
[Это скалярное произведение являет собой пример естественной операции умножения ковектора на вектор. Для выполнения этой операции не требуется ни евклидовой метрики, ни метрики Минковского. См. разд. 15.]
[Часто соотношения, содержащие неизвестные коэффициенты пропорциональности, можно преобразовать в точные равенства, содержащие 1-формы.] 234
Гл. III. Гравитация
[Учебники тензорного анализа для физиков полны сложными и громоздкими выражениями, описывающими эти преобразования координат. По-моему, от них мало пользы. Обычно проще и вернее получить их прямым путем, как это сделано здесь.]
д а (д 0 \
(28.33)
Чтобы найти уравнение волновой диаграммы в новых координатах, достаточно выразить векторы, определяемые этой диаграммой, через их новые компоненты. Эти компоненты (обозначим их і и 17) определяются формулой
¦д , . д
(28.34)
для любого вектора и. Принимая во внимание (28.32) и (28.33), последнюю формулу можно представить в виде
<28-з5>
откуда после приведения подобных членов получаем и = (2U? -f 4vT))~ + (4V2? + 4V2T))-^.
(28.36)
Компоненты вектора и в координатах (x,t) определяются из соотношения
. д и = х-¦
дХ
iFr
Сравнение (28.37) с (28.36) показывает, что x = 4v2(i + Tl),
i = 2v(i + 2r,).
(28.37)
(28.38)
Все наблюдатели равноправны
На основании этих формул уравнение волновой диаграммы
f2 = ±4х (28.39)
можно записать в виде
(І + 2г,)2 = ±(І + 7,). (28.40)
Именно это уравнение описывает кривую, изображенную на рис. 28.9.
Волновая диаграмма на рис. 28.9 представляет собой соответствующий волнам на воде аналог спецрелятивистской гиперболы. В частности, обратите внимание на замечательный факт: канонические волновые диаграммы выглядят для различных наблюдателей одинаково! Волновая диаграмма, определяв- 28. Теория относительности и волны на воде 235
мая уравнением (28.40), не зависит от v. Точно так же в СТО каждый наблюдатель получит ту же гиперболу. Случай волн на воде отличается только тем, что каждый получит одну и ту же параболу. Таким образом, если наблюдатель, движущийся над водой, следит только за волновым узором на ее поверхности и при его интерпретации пользуется только встроенными часами, то он не сможет установить свою скорость по отношению к воде. Все наблюдатели равноправны — чем не относительность! Напомню, что ход наших часов, измеряющих абсолютное ньютоново время, тоже характеризуется симметрией, а именно галилеевой симметрией. Так что такую симметрию нельзя считать ни редкостью, ни чем-то совершенно исключительным.
Мы могли бы повторить здесь все расчеты, выполненные в главе, посвященной СТО. Тогда мы получили бы преобразования между каноническими системами отсчета, аналогичные преобразованиям Лоренца, формулу доплеровского смещения частоты и формулу сложения скоростей. Выше мы показали, что мировая линия волн ряби в каждой канонической системе отсчета идет под углом 45° и что для каждого наблюдателя существует каноническая система отсчета. Все это по-видимому означает, что бессмысленно рассчитывать двигаться с такой же скоростью, как и волны ряби. Следует признать, что хотя в СТО такого сорта рассуждение выглядит вполне приемлемо, здесь вывод о невозможности догнать волны ряби кажется парадоксальным. И все-таки в некотором узком смысле он справедлив. Невозможно замедлить движение волнового пакета вплоть до полной остановки. Невозможно догнать волны ряби, ибо они никуда не движутся. Однако на самом деле наша теория — это лишь приближение к истине и не дает корректного описания медленных волн на воде. Из более точной теории следует, что при замедлении волнового пакета, образованного волнами на воде, он превращается в рябь.
Описанную выше модель следовало бы воспринимать лишь как шутку. Однако проблема, возникающая при рассмотрении ряби на воде, наводит на мысль, что к утверждениям о невозможности движения быстрее света следует относиться несколько обдуманнее. Чтобы приспособить СТО к описанию таких процессов, в нее нужно было бы внести совсем незначительные изменения (хотя учебники пришлось бы переделать). Гл. HI. Гравитация
ЗАДАЧИ
28.1. (08) Почему в примере на стр. 226 волновое число к отрицательно?
28.2. (16) Опишите несколько волновых пакетов в координатах, указанных на рис. 28.9.
28.3. (18) Докажите, что в канонической системе отсчета для волн на воде (рис. 28.9) гребни волны и энергия распространяются в противоположных направлениях.
28.4. (22) Парабола на рис. 28.9 не прерывается в точке пересечения с осью а простирается дальше, так что создается впечатление, будто возможно путешествие обратно во времени. Объясните, почему это не так.
28.5. (28) Опишите парадокс близнецов для часов, ассоциированных с волнами на воде.
28.6. (30) Найдите матричное представление симметрии волн на воде.
28.7. (25) Предложите способ построения кривой на рис. 28.9, как огибающей.
