Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
ром шла речь при обсуждении одновременности. Таким образом, наше определение оказалось полезным. Если бы мы начали с уравнений Максвелла и построили аналогичным способом волновую диаграмму, то получили бы гиперболу. Тогда определение одновременности появилось бы совершенно естественным образом. Однако такой подход слишком сложен для того, чтобы с него можно было начинать изложение теории.
В случае прямолинейного движения волнового пакета в однородной среде между пространством-временем (x,t) и касательным пространством (х,г) имеется лишь небольшое различие (за исключением положения начала координат). При переходе к неоднородным полям, когда дисперсионное уравнение явно зависит от х и t, волновую диаграмму следует строить в линейном пространстве, а для этого необходимо касательное пространство. С касательным пространством легче работать, чем с дуальным пространством или с градиентами фазы, ибо касательное пространство —. это линейная аппроксимация самого многообразия. Поэтому волновую диаграмму удобнее использовать, чем дисперсионное уравнение.
Роль метрического тензора пространства-времени сводится к описанию волновой диаграммы. Составляющие векторов групповой скорости для волнового уравнения (27.31), обладающего лоренцевой симметрией СТО, должны удовлетворять соотношению
которое можно записать в вуде
Jf ¦ (t;, V)=-l,
Прямолинейное движение
[Напомним, что касательное пространство — это пространство касательных векторов в точке.]
Метрический тензор
(27.37)
(27.38) 222
Гл. III. Гравитация
[Объяснение этого обозначения дано на стр. 165.]
Амплитуда волны
где л— метрический тензор пространства Минковского
Jf = dx2 — dt2. (27.39)
Кроме того, ассоциированный с вектором скорости v градиент фазы dB можно задать с помощью формулы
dd = -Jf • v. (27.40)
Теперь, не вдаваясь в подробности, выясним, почему движение максимума волнового пакета происходит в направлении групповой скорости. Мы получили дисперсионное уравнение, оставив в разложении для почти плоских волн
ф ~ A cos в
(27.41)
[Мы продолжаем рассуждение, начатое в разд. 19.]
только главные члены. Рассмотрим теперь случай, когда не только к и Oi, но и амплитуда А медленно меняются в зависимости от координат х и /. Присутствие в дисперсионном уравнении такой величины, как ш4, отражает наличие в исходном дифференциальном уравнении в частных производных члена (д4ф)/(д14). При четырехкратном дифференцировании фазы в — величины, изменяющейся быстрее всех остальных, — в дисперсионном уравнении появляется ш4. Члены следующего, более высокого порядка малости появляются, когда одно из четырех дифференцирований относится к любой из величин к, Oi или А. В последнем случае мы будем иметь член где множитель ш3 возникает в результате выполнения трех оставшихся дифференцирований фазы в. Коэффициент 4 объясняется тем, что к А может относиться любое из четырех дифференцирований. Таким образом, в результате дифференцирования амплитуды А получаем уравнение
bW ЗА dW ЗА доі dt дк дх
= (Некоторое известное выражение). (27.42)
Уравнение (27.42) как раз и показывает, что поведение величины А определенным образом связано с направлением вектора групповой скорости. Так как волны могут «растягиваться», их амплитуда не обязательно должна оставаться постоянной. Основываясь на вышеприведенной схеме, можно было бы предпринять и более тщательный анализ рассматриваемой проблемы. Однако такой анализ не входит в наши планы, и мы ограничимся проведенным, в какой-то мере интуитивным, обсуждением. 28. Теория относительности и волны на воде
223
Основная идея заключается в том, что каждое касательное пространство обладает своей волновой диаграммой. Иногда можно подобрать такие координаты, в которых волновые диаграммы одинаковы во всех касательных пространствах. В большей части наших примеров дело обстоит именно таким образом. Важно следующее: в каждом касательном пространстве должно существовать правило построения волновой диаграммы. Волновая диаграмма — это хорошо определенный геометрический объект, но не тензор и не обязательно линейный оператор. В этом отношении особняком стоит ОТО. Соответствующую ей волновую диаграмму можно описать на тензорном языке.
ЗАДАЧИ
27.1. (18) Введите подходящие единицы измерения и дайте численные оценки для ситуации, изображенной на рис. 27.4.
27.2. (32) Параболу можно построить как огибающую семейства прямых, связанных с фиксированными точкой S и осью L (рис. 27.8). Опишите это построение на нашем геометрическом языке, рассматривая прямые как ковекторы. Огибающая — это и есть волновая диаграмма. Докажите, что она на самом деле представляет собой параболу. См. задачу 23.1.
27.3. (21) Начертите волновую диаграмму для дисперсионного уравнения
со= к-к?.
27.4. (21) Дисперсионное уравнение для капиллярных волн на глубокой воде имеет вид
W2 = A3.
Начертите соответствующую волновую диаграмму.
27.5. (21) Постройте волновую диаграмму для дисперсионного уравнения
ы = k(l + ak?).
