Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория относительности Общая теория относительности — это теория тяготения, в
которой движение волн и частиц в окрестности любой точки определяется тензорным полем
& = ga0dxa Vdxe, (30.4)
а свободные частицы массой т описываются волновой диаграммой
goeX"*3 = —т2 (30.5) 30. Тяготение
253
или эквивалентным ей дисперсионным уравнением. Наличие тяготения приводит к изменению от точки к точке, а это изменение обусловлено распределением материи в пространстве-времени. Влияние материи на тяготение описывается уравнениями, которые называются уравнениями Эйнштейна. Собственно, вот и все, что содержится в ОТО. Нам, разумеется, пришлось основательно потрудиться, чтобы прийти к точке зрения, позволяющей дать столь простое описание ОТО. Математическое описание влияния распределенной в пространстве-времени материи на тензорное поле ? довольно формально, но требует навыков работы с дополнительным набором математических «инструментов». Развитие таких навыков может занять у нас недели, так что оставим эту задачу специальным курсам общей теории относительности. Здесь же мы будем рассматривать то или иное пространство-время как заданное и займемся только изучением его свойств. Это даст возможность во всех подробностях исследовать и обсудить стандартные космологические модели.
Пример
Внешнее асимптотически плоское пространство-время невраща-ющейся черной дыры описывается метрическим тензором
Наиболее сложное свойство таких 4-мерных общерелятивистских пространств заключается в том, что смысл используемых для их описания координат заранее неизвестен. Понять, что означают эти координаты, можно, лишь изучая само простран-ство-время: сначала ответ, а уж потом вопрос.
В уравнении (30.6) используется геометрическая единица массы, Геометрические единицы которая получается, если положить с = 1 и G = 1. Размерность массы в геометрических единицах — секунда. Физический смысл массы, равной одной секунде, следует из закона Кеплера
(30.6)
+ r2(d02 + sin2 ed<t>2).
OsWi = т.
гЗ,.,2
(30.7)
где большая полуось орбиты а измеряется в световых секун- 254
Гл. III. Гравитация
ТАБЛИЦА 30.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ
Длины
Фут 1,02 • 10 с
Метр 3,34 • 10 "9 с
Радиус Земли 2,12 • 10 "2 с
Радиус Солнца 2,32 с
Астрономическая единица длины 499 с
Световой год 3,16 • 10 7 с
Парсек 1,03 ¦ 10 8 с
Массы:
Килограмм 2,48 • 10 ~36 с
Масса Земли 1,48 • 10 с
Масса Солнца 4,92 ¦ 10 -6 с
Другие величины:
Плотность воды 6,67 ¦ 10 ~8 с ~2
А 1,82 • 10 "86 с 2
(50 км/с ¦ Мпс) 6,18 • 10 17C
дах, а угловая скорость — в (рад/с). В геометрических единицах масса Солнца равна 4,92 • 10 ~6 секунд, масса Земли [См. табл. 30.1.] 1,48 • 10 _и секунд, а масса, соответствующая одному килограмму, составляет 2,48 ¦ 10 ~36 секунд (табл. 30.1).
Что можно сказать по поводу световых сигналов? Обсуждая поведение световых сигналов с точки зрения СТО, мы не делали различия между групповой и фазовой скоростями. Как сейчас будет показано, аналогичная ситуация имеет место и в
ОТО. Дисперсионное уравнение для волнового пакета светово-
го сигнала представляет собой тензорное уравнение
SaePaPff = 0, (30.8)
где ga0 — компоненты тензора, обратного метрическому, а Pa — компоненты градиента фазы
P = dd. (30.9)
Уравнение (30.8) можно рассматривать либо как постулат, либо как результат экспериментальных наблюдений, либо как следствие уравнений Максвелла. Для нас оно будет играть роль удобной отправной точки.
Световые сигналы
[Обсуждение процедуры обращения см. на стр. 189.] 30. Тяготение
255
Пример
Для спецрелятивистской метрики
'S = -dt2 + dx2 обратный тензор ~1 имеет вид
dt dt dx dx'
Если написать
p=kdx + (odt, то наше дисперсионное уравнение
(30.10)
(30.11)
(30.12)
следует, что
— „a?
* dx"' dx? P = Padxf
(dx^dxs) = = SafiPaP0 = O,
(30.14)
(30.15)
(30.16)
т.е. мы снова имеем уравнение (30.8). Записав его через к и со, получим хорошо знакомое нам дисперсионное уравнение
-1 • (р, р) = к2 - to2 = 0.
Это дисперсионное уравнение обладает особенностью, которая заставляет нас вернуться назад и повторить вывод выражения для групповой скорости. Чтобы найти групповую скорость а, продифференцируем дисперсионное уравнение
^ (g^PaPp) = ^T AA + (30.18)
Так как р — это градиент, имеем
dP? _ dpy дху dx?'
ибо частные производные коммутируют. Таким образом, приходим к уравнению
(30.19)
(30.20)
[Этот тип обращения вы найдете на стр. 181.]
&-1-(р,р)= 0 (30.13)
можно переписать в индексных обозначениях. Из формул
d „ d
(30.17)
Групповая скорость света
[Вычисление этой производной — хорошее упражнение в жонглировании индексами.] 256
Гл. III. Гравитация
Дисперсирующие волны
Левая часть здесь представляет собой производную величин ру вдоль направления, которое мы считаем направлением групповой скорости
д
О- = ga?Pa
дх0'
(30.21)
Нормировка невозможна
Недислврнфцтцпг
Рис. 30.1
Различие между диспергирующими и недиспергирующими волнами.
