Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[Это будет ваш самый первый расчет, касающийся общей теории относительности!]
Симметрия и сравнение ростей хода часов
С концептуальной точки зрения в простейшем эксперименте в искривленном пространстве-времени должны использоваться только часы. B рамках нашего формализма часы — более простой инструмент, нежели жесткие стержни, хотя на практике это и не так. Сравнение скоростей хода часов, расположенных в разных местах, позволяет определить влияние поля тяготения на их наблюдаемый ход. Проявление такого влияния называется гравитационным красным смещением. Смещение может происходить как в сторону высоких, так и в сторону низких частот. Впервые явление смещения наблюдалось при исследовании света, приходящего к нам от фотосфер белых карликов. Спектральные линии оказались смещенными в красную часть спектра; отсюда и произошло название. Описанный эффект наблюдался также в лабораторных опытах с гамма-излучением и в эксперименте с ракетой, оборудованной прецизионными часами.
Научившись осторожности в обращении даже со старыми представлениями, вы теперь наверняка ожидаете обсуждения вопроса о способе сравнения хода часов, движущихся с различными скоростями. Если дело обстоит действительно так, то все в порядке. Для сравнения хода можно было бы использовать, например, обмен световыми сигналами между часами. Такой метод применим почти всегда. Однако в данном случае можно ввести еще более широкий класс сравнений, причем все 32. Гравитационное красное смещение
265
они приводят к одному и тому же результату: ход часов можно сравнить, опираясь на симметрию пространства-времени по отношению к сдвигу во времени.
Будем считать сначала, что часы покоятся. (Смысл, который здесь вкладывается в слово «покоятся», связан с существованием симметрии по отношению к сдвигу во времени.) В этом случае векторное поле д/ді, генерирующее симметрию, дает нам естественную единицу измерения времени вдоль каждой мировой линии часов.
[Конечно, можно было бы обойтись без этого «тяжеловесного» утверждения. Но оно не бесполезно, ибо позволяет вплотную подойти к представлению о симметрии. Я специально отклонился от основной темы, чтобы ввести это абстрактное понятие, в надежде, что практическое применение сделает его более осязаемым.]
Пример
Предположим, что для сравнения хода часов вы решили воспользоваться почтовой связью. Последней свойственна симметрия относительно сдвига во времени (письма во все времена шли, идут и будут идти одинаково медленно), поэтому ход часов можно сравнить, послав два письма. B первом вы напишите: «Начинайте отсчет». Bo втором: «Прекращайте отсчет. Я насчитал N ударов». Тогда вашему адресату для сравнения хода часов потребуется лишь сравнить число N с числом ударов, отсчитанных .им самим. Для повышения точности с отправлением второго письма можно подождать подольше.
Мы будем вычислять гравитационное красное смещение с помощью процедуры обмена световыми сигналами. При этом следует иметь в виду, что существование симметрии относительно сдвига во времени не только упрощает расчет, но и позволяет распространить его на любой другой процесс сравнения, если ему свойственна симметрия во времени. Знакомство с этим разделом позволит вам не только составить представление о гравитационном красном смещении, но и расширить понятие о симметрии и ее применениях.
Bo избежание недоразумений следует отметить, что предстоящий расчет неприменим непосредственно к наземным экспериментам, о которых здесь будет идти речь. Дело в том, что используемые в них часы нельзя рассматривать как покоящиеся; напротив, следует считать (и совершенно обоснованно), что они вращаются вместе с Землей. Чтобы внести в ход часов поправки на это движение, достаточно учесть лишь спецреляти-вистское доплеровское смещение. Процедура такой корректировки не настолько поучительна, чтобы о ней говорить в основном тексте; поэтому ее обсуждение перенесено в задачи.
Вращение не учитывается
[Сейчас самое время еще раз просмотреть расчет доплеровско-го смещения в разд. 13, поскольку здесь будут проделаны аналогичные вычисления.] 266
Гл. III. Гравитация
Геометрия пространства-времени
Для сравнения хода двух часов с помощью световых сигналов естественнее всего действовать следующим образом: сначала отыскать мировые линии световых сигналов, а затем найти способ, с помощью которого локально покоящиеся наблюдатели могут описать эти сигналы, используя только свои часы. Для простоты рассмотрим лишь случай, когда мировые линии часов вертикальны. Тогда световые сигналы будут распространяться только в плоскости (г, t) при неизменных значениях угловых координат 0 и ф. Любой такой сигнал описывается параметризованной кривой
и н-> [и, R(u), в0, ф0] (32.1)
с касательным вектором
[Здесь всюду безжалостно отбрасываются члены, квадратичные по (т/г).]
Симметрия мировых линий световых сигналов
At h
-V
I /
"Т"
АГ
Рис. 32.1
а
a=7t-
dR д du дг'
(32.2)
Поскольку специальная теория относительности по-прежнему локально справедлива, этот вектор должен удовлетворять условию
